Jak obliczyć medianę z ciągu liczb?
Mediana to wartość środkowa w uporządkowanym ciągu liczb. Najpierw ustaw liczby rosnąco, a potem sprawdź, czy liczba elementów jest parzysta, czy nieparzysta. Dla nieparzystej liczby elementów wybierasz jedną liczbę ze środka, a dla parzystej obliczasz średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb.
Czym jest mediana?
Mediana dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie części. Po jednej stronie znajdują się wartości nie większe od mediany, a po drugiej wartości nie mniejsze od niej.
Najważniejszy warunek polega na tym, że liczby trzeba najpierw uporządkować rosnąco. Bez sortowania wybrany element nie musi znajdować się w środku ciągu, więc wynik będzie błędny.
Jak krok po kroku obliczyć medianę?
Postępuj według następującej kolejności:
- Uporządkuj wszystkie liczby od najmniejszej do największej.
- Policz, ile elementów zawiera ciąg. Oznacz tę liczbę symbolem n.
- Sprawdź, czy n jest liczbą parzystą, czy nieparzystą.
- Wybierz środkową liczbę albo oblicz średnią dwóch środkowych wartości, zależnie od wyniku poprzedniego kroku.
Jeśli liczba elementów jest nieparzysta, po uporządkowaniu ciągu istnieje dokładnie jeden element środkowy. Jego pozycję można wyznaczyć ze wzoru (n + 1) / 2.
Jeśli liczba elementów jest parzysta, w środku znajdują się dwa elementy. Mediana jest ich średnią arytmetyczną. Dla ciągu o liczbie elementów n są to wartości z pozycji n / 2 oraz n / 2 + 1.
Mediana dla parzystej i nieparzystej liczby elementów
Poniższa tabela pokazuje, którą metodę zastosować w obu przypadkach:
| Liczba elementów (n) | Metoda obliczeń | Wzór lub działanie |
|---|---|---|
| Nieparzysta | Wybierz jedyną wartość środkową | Pozycja środkowa: (n + 1) / 2 |
| Parzysta | Oblicz średnią dwóch wartości środkowych | (xn/2 + xn/2+1) / 2 |
Przykłady obliczania mediany
Nieparzysta liczba elementów
Rozważmy ciąg:
1, 3, 5
Liczby są już uporządkowane rosnąco, a ciąg ma trzy elementy. Środkową wartością jest 3, więc:
Mediana = 3
W większym przykładzie ciąg 2, 5, 7, 8, 9, 10, 32 ma siedem elementów. Wartość na pozycji (7 + 1) / 2 = 4 to 8, dlatego mediana również wynosi 8.
Parzysta liczba elementów
Rozważmy ciąg:
1, 3, 5, 7
Są cztery elementy, więc wybieramy dwie wartości środkowe: 3 i 5. Następnie obliczamy ich średnią:
Mediana = (3 + 5) / 2 = 4
Mediana może być liczbą, której nie ma w pierwotnym ciągu. W tym przykładzie żadna wartość nie wynosi 4, ale 4 jest średnią dwóch środkowych liczb.
Wartości skrajne zwykle wpływają na medianę słabiej niż na średnią arytmetyczną. Dlatego przy danych zawierających bardzo duże lub bardzo małe obserwacje mediana może lepiej pokazywać typową wartość zbioru.
