Jak obliczyć największą wspólną wielokrotność?
W matematyce nie istnieje „największa wspólna wielokrotność”. Wielokrotności liczb tworzą nieskończony zbiór, dlatego nie da się wskazać jego największego elementu. Najczęściej chodzi o NWW, czyli najmniejszą wspólną wielokrotność.
Czym jest NWW?
Wielokrotność liczby powstaje przez pomnożenie jej przez kolejne liczby naturalne. Wielokrotnościami liczby 4 są na przykład 4, 8, 12, 16 i 20. Można je tworzyć bez końca, więc wśród wspólnych wielokrotności dwóch liczb również nie ma największej.
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza liczba różna od zera, która jest podzielna przez każdą z danych liczb.
Przykład dla liczb 4 i 6 wygląda tak:
- Wielokrotności liczby 4 – 4, 8, 12, 16, 20, 24…
- Wielokrotności liczby 6 – 6, 12, 18, 24, 30…
- Wspólne wielokrotności – 12, 24, 36…
- Najmniejsza wspólna wielokrotność – NWW(4, 6) = 12
NWW przydaje się między innymi przy sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika. Dla ułamków o mianownikach 4 i 6 wspólnym mianownikiem może być 12.
Jak obliczyć NWW metodą rozkładu na czynniki?
Metoda szkolna polega na rozłożeniu każdej liczby na czynniki pierwsze. Następnie wybiera się wszystkie czynniki, ale każdy z nich musi wystąpić tyle razy, ile pojawia się najczęściej w którymkolwiek rozkładzie.
Obliczmy NWW liczb 42 i 56:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze – 42 = 2 · 3 · 7, a 56 = 2 · 2 · 2 · 7.
- Wybierz największą liczbę powtórzeń każdego czynnika – potrzebujemy trzech czynników 2, jednego czynnika 3 i jednego czynnika 7.
- Pomnóż wybrane czynniki – NWW(42, 56) = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 168.
Wynik 168 jest podzielny zarówno przez 42, jak i przez 56. Żadna mniejsza dodatnia liczba nie ma tej właściwości.
NWW za pomocą NWD – jaki jest wzór?
Drugą metodą jest wykorzystanie NWD, czyli największego wspólnego dzielnika. NWD wskazuje największą liczbę, przez którą można podzielić bez reszty obie dane liczby. NWW i NWD są ze sobą związane wzorem:
NWW(a, b) = (a · b) / NWD(a, b)
Dla liczb 42 i 56 mamy NWD(42, 56) = 14. Zatem:
NWW(42, 56) = (42 · 56) / 14 = 168.
Przy większych liczbach NWD można wyznaczyć algorytmem Euklidesa. Dzięki temu nie trzeba wypisywać kolejnych wielokrotności ani wykonywać pełnych rozkładów na czynniki pierwsze.
| Metoda | Zalety | Kiedy stosować? |
|---|---|---|
| Rozkład na czynniki pierwsze | Pokazuje dokładnie, skąd bierze się wynik i jest łatwy do prześledzenia. | Przy małych liczbach oraz w zadaniach szkolnych wymagających zapisu obliczeń. |
| Wzór z NWD | Jest krótki i zwykle szybszy przy większych liczbach. | Gdy znasz NWD albo możesz szybko wyznaczyć go algorytmem Euklidesa. |
Najważniejsze właściwości NWW
Kilka reguł ułatwia rozwiązywanie zadań z najmniejszą wspólną wielokrotnością:
- Dla liczb względnie pierwszych, czyli takich, których NWD wynosi 1, NWW jest równa ich iloczynowi.
- NWW nie może być mniejsza od największej z rozpatrywanych liczb.
- Dla więcej niż dwóch liczb można obliczać wynik kolejno, na przykład NWW(12, 18, 24) = NWW(NWW(12, 18), 24).
- NWW służy do wyznaczania wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania ułamków.
Przykładowo NWW(5, 8) = 40, ponieważ 5 i 8 są względnie pierwsze. W tym przypadku wystarczy pomnożyć 5 · 8.
Co zapamiętać?
Poprawny termin to najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli NWW. „Największa wspólna wielokrotność” nie istnieje, ponieważ wspólnych wielokrotności jest nieskończenie wiele. NWW obliczysz przez rozkład na czynniki pierwsze albo ze wzoru wykorzystującego NWD.
