Jak obliczyć ortocentrum w trójkącie?

Ortocentrum to punkt przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta. W układzie współrzędnych obliczysz je przez wyznaczenie równań dwóch wysokości i rozwiązanie układu równań. Nie istnieje tu jeden prosty wzór analogiczny do wzoru na środek ciężkości.

Jak obliczyć ortocentrum krok po kroku?

Załóżmy, że wierzchołki trójkąta mają współrzędne A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) i C(x_C, y_C). Wystarczą dwie wysokości, ponieważ zgodnie z twierdzeniem o wysokościach przecinają się one w jednym punkcie.

Całą procedurę można zapisać w następujących etapach:

1. Wyznacz równania dwóch boków trójkąta – na przykład prostych AB i AC.
2. Oblicz współczynniki kierunkowe tych prostych, oznaczając je odpowiednio przez a_AB i a_AC.
3. Wyznacz współczynniki kierunkowe wysokości, korzystając z warunku prostopadłości a₁ · a₂ = −1.
4. Zapisz równania wysokości – wysokość z punktu C jest prostopadła do AB, a wysokość z punktu B jest prostopadła do AC.
5. Rozwiąż układ dwóch równań. Otrzymany punkt H(x_H, y_H) jest ortocentrum trójkąta.

Jeżeli prosta AB ma współczynnik kierunkowy a_AB, to wysokość opuszczona z wierzchołka C ma współczynnik:

a_hC = −1 / a_AB

Jej równanie zapisujesz następnie w postaci prostej przechodzącej przez punkt C. Analogicznie, wysokość przechodząca przez B musi być prostopadła do boku AC.

Przykładowo, jeśli wysokość z punktu C ma współczynnik kierunkowy m i przechodzi przez C(x_C, y_C), jej równanie ma postać:

y − y_C = m(x − x_C)

Tak samo zapisujesz drugą wysokość, a następnie porównujesz ich prawe strony lub rozwiązujesz układ metodą podstawiania. Nie należy przy tym obliczać ortocentrum jako średniej arytmetycznej współrzędnych wierzchołków. Wzory

x = (x_A + x_B + x_C) / 3 oraz y = (y_A + y_B + y_C) / 3

wyznaczają środek ciężkości, a nie ortocentrum.

Jak sprawdzić równania wysokości?

Po obliczeniu punktu H sprawdź dwie rzeczy. Po pierwsze, podstaw jego współrzędne do obu równań wysokości. Punkt powinien spełniać oba równania. Po drugie, sprawdź prostopadłość. Jeśli współczynniki kierunkowe dwóch prostych wynoszą a₁ i a₂, dla prostych prostopadłych zachodzi:

a₁ · a₂ = −1

Gdy jedna z prostych jest pionowa, jej współczynnik kierunkowy nie istnieje. Wtedy zapisujesz ją jako x = const, a drugą wysokość wyznaczasz bezpośrednio z warunku prostopadłości. Taki przypadek wymaga osobnego zapisu, ale metoda nadal polega na znalezieniu przecięcia dwóch wysokości.

Gdzie leży ortocentrum?

Położenie punktu poza trójkątem nie oznacza błędu rachunkowego. Jest naturalnym wynikiem przedłużenia wysokości w trójkącie rozwartokątnym.

Najważniejsza zasada brzmi: wyznacz dwa boki, poprowadź przez przeciwległe wierzchołki proste do nich prostopadłe i znajdź punkt przecięcia tych wysokości. Jeśli wynik wydaje się nietypowy, ponownie sprawdź współczynniki kierunkowe oraz przynależność punktu do obu równań.