Jak obliczyć pierwiastki równania kwadratowego?

Pierwiastki równania kwadratowego oblicza się za pomocą wyróżnika, czyli delty. Dla równania \(ax^2+bx+c=0\), gdzie \(a\neq 0\), najpierw wyznacz \(\Delta=b^2-4ac\), a następnie zastosuj wzory zależne od jej znaku.

Postać ogólna równania kwadratowego

Równanie kwadratowe ma postać:

\[
ax^2+bx+c=0
\]

Współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) są liczbami rzeczywistymi, przy czym \(a\neq 0\). Współczynnik \(a\) stoi przy \(x^2\), \(b\) przy \(x\), a \(c\) jest wyrazem wolnym.

Jeśli \(a=0\), równanie przestaje być kwadratowe i staje się równaniem liniowym. W standardowej metodzie najważniejszym obliczeniem jest wyznaczenie delty:

\[
\Delta=b^2-4ac
\]

Jak obliczyć pierwiastki krok po kroku?

Rozwiązywanie równania kwadratowego możesz przeprowadzić według stałego algorytmu:

1. Wypisz współczynniki – odczytaj wartości \(a\), \(b\) i \(c\) z postaci \(ax^2+bx+c=0\).
2. Oblicz deltę – podstaw współczynniki do wzoru \(\Delta=b^2-4ac\).
3. Sprawdź znak delty – ustal, czy \(\Delta\) jest dodatnia, równa zeru czy ujemna.
4. Zastosuj właściwy wzór – dla dodatniej delty oblicz dwa pierwiastki, dla zerowej jeden pierwiastek podwójny, a dla ujemnej stwierdź brak rozwiązań rzeczywistych.

Gdy \(\Delta>0\), pierwiastki wyznacza się ze wzorów:

\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\]

\[
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]

Przy \(\Delta=0\) oba wzory dają tę samą wartość, dlatego zapisuje się jeden pierwiastek podwójny:

\[
x_0=\frac{-b}{2a}
\]

Jak interpretować wynik delty?

Przykład obliczania pierwiastków

Rozwiążmy równanie:

\[
x^2+x-2=0
\]

Krok 1. Odczytanie współczynników

Porównujemy równanie z postacią \(ax^2+bx+c=0\). Otrzymujemy:

• \(a=1\)
• \(b=1\)
• \(c=-2\)

Krok 2. Obliczenie delty

Podstawiamy wartości do wzoru:

\[
\Delta=b^2-4ac
\]

\[
\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9
\]

Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Krok 3. Obliczenie pierwszego pierwiastka

\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\]

\[
x_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot1}
=\frac{-1-3}{2}
=\frac{-4}{2}=-2
\]

Krok 4. Obliczenie drugiego pierwiastka

\[
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]

\[
x_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot1}
=\frac{-1+3}{2}
=\frac{2}{2}=1
\]

Rozwiązaniami równania są więc:

\[
\boxed{x_1=-2,\quad x_2=1}
\]

Co oznacza delta ujemna?

Jeśli \(\Delta

W zbiorze liczb zespolonych takie równanie ma jednak dwa pierwiastki sprzężone. Korzysta się wtedy z jednostki urojonej \(i\), dla której \(i^2=-1\). Na przykład:

\[
\sqrt{-3}=i\sqrt{3}
\]

Dla równania \(x^2+x+1=0\) mamy \(\Delta=-3\), więc:

\[
x_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},\qquad
x_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
\]

W typowych zadaniach dotyczących liczb rzeczywistych wystarczy zapisać, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Najczęstsze błędy to pominięcie znaku minus przy współczynniku \(c\) oraz niepoprawne obliczenie wyrażenia \(4ac\).

Najkrótszy schemat zapamiętania metody jest taki: odczytaj \(a\), \(b\), \(c\), oblicz \(\Delta=b^2-4ac\), sprawdź jej znak i wybierz właściwy wzór na pierwiastki.