Jak obliczyć rozkład Poissona? Poradnik krok po kroku

Rozkład Poissona służy do obliczania prawdopodobieństwa wystąpienia dokładnie k zdarzeń w określonym czasie lub obszarze. Najważniejszy jest parametr λ, czyli średnia liczba zdarzeń w tym przedziale. Wzór ma postać: P(X = k) = (λ^k · e^−λ) / k!.

Kiedy stosować rozkład Poissona?

Rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, dlatego opisuje całkowitą liczbę zdarzeń: 0, 1, 2, 3 i tak dalej. Możesz go zastosować, gdy liczysz zdarzenia zachodzące w ustalonym czasie, na określonej powierzchni lub w innej zdefiniowanej jednostce.

Model pasuje szczególnie wtedy, gdy zdarzenia są niezależne, ich średnia intensywność pozostaje stała, a pojedyncze zdarzenie jest stosunkowo rzadkie. Przykładami mogą być liczba awarii w miesiącu, e-maili otrzymanych w ciągu godziny albo połączeń przychodzących do centrali w ciągu minuty.

W przypadku przybliżania rozkładu dwumianowego rozkład Poissona wiąże się z prawem rzadkich zdarzeń, czyli sytuacją, w której liczba prób jest duża, a prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu małe.

Przed rozpoczęciem obliczeń sprawdź, czy:

• liczysz całkowitą liczbę zdarzeń w ustalonym przedziale
• zdarzenia można uznać za niezależne
• średnia liczba zdarzeń w takim samym przedziale jest stała
• parametr λ jest większy od zera

Wzór na rozkład Poissona

Dla zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona zapisujemy: X ~ Poiss(λ). Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k zdarzeń oblicza się ze wzoru:

P(X = k) = (λ^k · e^−λ) / k!

Każdy symbol pełni określoną funkcję:

Parametr λ jest jednocześnie wartością oczekiwaną i wariancją rozkładu Poissona. Odchylenie standardowe wynosi √λ. Nie należy mylić λ z wartością k: lambda opisuje średnią, a k konkretną liczbę zdarzeń, którą analizujesz.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo krok po kroku?

Aby obliczyć P(X = k), wykonaj poniższe działania w podanej kolejności:

1. Ustal parametr λ – odczytaj średnią liczbę zdarzeń w analizowanym czasie lub obszarze.
2. Wybierz k – określ, dla ilu zdarzeń chcesz obliczyć prawdopodobieństwo.
3. Podstaw dane do wzoru – w miejsce λ i k wpisz konkretne wartości.
4. Wykonaj obliczenia – najpierw potęguj, następnie pomnóż, oblicz silnię i na końcu podziel licznik przez mianownik.

W obliczeniach ręcznych możesz przyjąć e ≈ 2,718, ale kalkulator, arkusz kalkulacyjny lub program komputerowy zapewni większą dokładność. Dla k = 0 pamiętaj, że 0! = 1, więc P(X = 0) = e^−λ.

Przykład obliczeniowy: λ = 2 i dokładnie 3 awarie

Załóżmy, że w firmie występują średnio 2 awarie miesięcznie. Chcesz obliczyć prawdopodobieństwo, że w wybranym miesiącu pojawią się dokładnie 3 awarie.

Dane są następujące:

• λ = 2, ponieważ średnia wynosi 2 awarie miesięcznie
• k = 3, ponieważ interesują nas dokładnie 3 awarie

Podstawiamy wartości do wzoru:

P(X = 3) = (2³ · e⁻²) / 3!

Teraz obliczamy poszczególne elementy:

P(X = 3) = (8 · 0,135335…) / 6

P(X = 3) ≈ 0,1804

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie 3 awarii w miesiącu wynosi około 18,04%. To wynik dla konkretnej liczby zdarzeń. Nie jest tym samym co prawdopodobieństwo co najmniej 3 awarii albo nie więcej niż 3 awarii.

Jak obliczyć „co najmniej” i „więcej niż”?

Gdy pytanie dotyczy zakresu zdarzeń, trzeba zsumować odpowiednie prawdopodobieństwa albo skorzystać z dopełnienia. Dla przykładu:

P(X ≥ k) = 1 − P(X < k)

Dlatego prawdopodobieństwo co najmniej 3 awarii wynosi:

P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2)

Następnie rozwijasz prawdopodobieństwo skumulowane:

P(X ≥ 3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

Takie podejście jest krótsze niż dodawanie nieskończenie wielu składników od P(X = 3) wzwyż. Analogicznie:

• „mniej niż 3” oznacza P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
• „nie więcej niż 3” oznacza P(X ≤ 3), więc uwzględniasz wartości od 0 do 3
• „więcej niż 3” oznacza P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3)
• „co najmniej 3” oznacza P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2)

W Excelu prawdopodobieństwo dla dokładnie k zdarzeń można obliczyć funkcją ROZKŁ.POISSON(k; λ; FAŁSZ). Dla prawdopodobieństwa skumulowanego do wartości k używa się ROZKŁ.POISSON(k; λ; PRAWDA). W Pythonie biblioteka SciPy udostępnia funkcje poisson.pmf(k, λ) dla konkretnej liczby zdarzeń oraz poisson.cdf(k, λ) dla prawdopodobieństwa skumulowanego.

Najważniejsza zasada brzmi: najpierw określ średnią liczbę zdarzeń λ, potem wybierz wartość k i dopiero wtedy podstaw dane do wzoru. Przy pytaniach typu „co najmniej” lub „więcej niż” często najszybciej obliczyć prawdopodobieństwo dopełniające.