Jak obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych?

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych wynikają z geometrii trójkątów. Nie trzeba zapamiętywać ich bez zrozumienia – wystarczy znać definicje funkcji, zastosować twierdzenie Pitagorasa i narysować właściwy trójkąt.

Jak wyznaczyć wartości dla kąta 45°?

Dla kąta 45° wykorzystujemy trójkąt prostokątny równoramienny. Jego kąty ostre mają po 45°, a przyprostokątne są równej długości. Przyjmijmy, że każda z nich ma długość a.

W trójkącie prostokątnym sinus jest stosunkiem przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, cosinus to stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej, a tangens jest ilorazem obu przyprostokątnych.

Najpierw obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

1. Zapisz twierdzenie Pitagorasa – a² + a² = c².
2. Uprość równanie – 2a² = c².
3. Wyznacz przeciwprostokątną – c = a√2.
4. Podstaw długości boków do definicji funkcji – otrzymasz wartości sinusa, cosinusa i tangensa.

Zatem:

• sin 45° = a/(a√2) = 1/√2 = √2/2
• cos 45° = a/(a√2) = √2/2
• tg 45° = a/a = 1

Wartość cotangensa również wynosi 1, ponieważ jest odwrotnością tangensa. Równość sinusa i cosinusa wynika z tego, że w trójkącie równoramiennym obie przyprostokątne mają taką samą długość.

Jak wyznaczyć wartości dla kątów 30° i 60°?

Do wyprowadzenia wartości dla 30° i 60° potrzebujemy trójkąta równobocznego o boku długości a. Wszystkie jego kąty mają po 60°. Poprowadź wysokość z jednego wierzchołka do przeciwległego boku. Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Każdy z powstałych trójkątów ma kąty 30°, 60° i 90°. Podstawa zostaje podzielona na dwie części o długości a/2, a przeciwprostokątna każdego ma długość a.

Wysokość oznaczmy przez h. Z twierdzenia Pitagorasa:

1. Zapisz zależność między bokami – (a/2)² + h² = a².
2. Wyznacz kwadrat wysokości – h² = a² – a²/4 = 3a²/4.
3. Oblicz wysokość – h = a√3/2.
4. Rozpoznaj boki względem wybranego kąta – dla 30° naprzeciw leży a/2, a dla 60° naprzeciw leży wysokość a√3/2.

Dla kąta 30° otrzymujemy:

• sin 30° = (a/2)/a = 1/2
• cos 30° = (a√3/2)/a = √3/2
• tg 30° = (a/2)/(a√3/2) = √3/3
• ctg 30° = √3

Dla kąta 60° te same boki występują w odwrotnej roli:

• sin 60° = (a√3/2)/a = √3/2
• cos 60° = (a/2)/a = 1/2
• tg 60° = (a√3/2)/(a/2) = √3
• ctg 60° = √3/3

Wartości funkcji dla kątów szczególnych

Poniższa tabela zawiera także kąty 0° i 90°. Są to wartości graniczne, które można wyznaczyć na podstawie definicji funkcji lub okręgu jednostkowego.

Jak szybko odtworzyć te wartości?

Gdy zapomnisz tabeli, narysuj odpowiedni trójkąt. Dla 45° wybierz trójkąt prostokątny równoramienny. Dla 30° i 60° narysuj trójkąt równoboczny i poprowadź jego wysokość. Następnie zastosuj twierdzenie Pitagorasa oraz definicje funkcji.

Pomocna jest też kontrola wyniku. Dla kątów ostrych sinus rośnie wraz z kątem, a cosinus maleje. Dlatego sin 30° powinien być mniejszy niż sin 60°, natomiast cos 30° większy niż cos 60°. Możesz również sprawdzić tangens za pomocą zależności tg α = sin α/cos α.

Po kilku samodzielnych szkicach wartości przestają być zestawem przypadkowych liczb. Wynikają z dwóch prostych konstrukcji: trójkąta 45°–45°–90° oraz trójkąta 30°–60°–90°.