Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Rozkład liczby na czynniki pierwsze polega na zapisaniu jej jako iloczynu liczb pierwszych. Najprościej zrobić to metodą pionowej kreski, dzieląc liczbę kolejno przez najmniejsze możliwe dzielniki: 2, 3, 5, 7 i następne. Dzielenie kończymy wtedy, gdy po lewej stronie otrzymamy 1.

Czym jest rozkład na czynniki pierwsze?

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie. Przykładami są 2, 3, 5, 7, 11 i 13. Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą.

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki. Można ją przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład:

20 = 2 · 2 · 5

Każda liczba złożona ma taki rozkład i jest on jednoznaczny, jeśli nie uwzględniamy kolejności czynników. Wynika to z Podstawowego twierdzenia arytmetyki. Rozkład przydaje się między innymi przy obliczaniu największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW).

Jak wykonać rozkład metodą pionowej kreski?

Po lewej stronie kreski zapisuje się dzieloną liczbę i kolejne wyniki dzielenia. Po prawej stronie umieszcza się dzielniki pierwsze. Za każdym razem wybieraj najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą aktualna liczba dzieli się bez reszty.

Algorytm rozkładu wygląda następująco:

1. Zapisz daną liczbę po lewej stronie pionowej kreski.
2. Sprawdź, czy można podzielić ją przez 2. Jeśli tak, wykonaj dzielenie i zapisz 2 po prawej stronie.
3. Jeśli dzielenie przez 2 nie jest możliwe, sprawdzaj kolejne liczby pierwsze, czyli 3, 5, 7 i następne.
4. Każdy otrzymany wynik dziel ponownie przez najmniejszy możliwy dzielnik pierwszy.
5. Kontynuuj, aż po lewej stronie pojawi się 1. Iloczyn liczb zapisanych po prawej stronie jest szukanym rozkładem.

Rozłóżmy liczbę 42. Kolejne etapy wyglądają tak:

Zapis pionowy oznacza działania:

42 : 2 = 21
21 : 3 = 7
7 : 7 = 1

Po prawej stronie otrzymaliśmy liczby 2, 3 i 7, dlatego:

42 = 2 · 3 · 7

Nie kończ rozkładu na liczbie pierwszej 7. Trzeba jeszcze podzielić ją przez 7, aby po lewej stronie pojawiła się 1.

Przykłady rozkładu liczb

Liczba 120

Zaczynamy od 2 i powtarzamy dzielenie tak długo, jak długo wynik jest całkowity:

120 : 2 = 60
60 : 2 = 30
30 : 2 = 15

Liczba 15 nie dzieli się przez 2, więc przechodzimy do 3:

15 : 3 = 5
5 : 5 = 1

Zatem:

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2³ · 3 · 5

Potęga 2³ oznacza trzy powtarzające się czynniki równe 2.

Liczba 75

Liczba 75 nie dzieli się przez 2, ale dzieli się przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 12:

75 : 3 = 25
25 : 5 = 5
5 : 5 = 1

Rozkład ma więc postać:

75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 5²

Liczba 288

Najpierw kilkakrotnie dzielimy przez 2:

288 : 2 = 144
144 : 2 = 72
72 : 2 = 36
36 : 2 = 18
18 : 2 = 9

Dziewięć nie dzieli się przez 2, więc przechodzimy do 3:

9 : 3 = 3
3 : 3 = 1

Ostatecznie:

288 = 2⁵ · 3²

Jak sprawdzać podzielność?

Podstawowe reguły podzielności pomagają szybko wybrać pierwszy możliwy dzielnik:

• Przez 2 – liczba jest parzysta, czyli kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8.
• Przez 3 – suma cyfr liczby dzieli się przez 3.
• Przez 5 – liczba kończy się na 0 lub 5.
• Przez 7 – trzeba sprawdzić dzielenie, ponieważ nie ma równie prostej reguły używanej na tym poziomie.

Najczęstszy błąd polega na pominięciu powtarzającego się dzielnika. Jeśli po podzieleniu przez 2 wynik nadal jest parzysty, trzeba ponownie użyć 2. Należy też zapisywać dzielniki w kolejności od najmniejszego i zawsze kontynuować działania aż do uzyskania 1.

Najważniejsza zasada jest prosta: dziel liczbę przez kolejne liczby pierwsze, zapisuj każdy dzielnik i zakończ dopiero wtedy, gdy po lewej stronie otrzymasz 1.