Jak rozszerzać ułamki do wspólnego mianownika?
Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, pomnóż licznik i mianownik każdego z nich przez taką samą liczbę, żeby mianowniki stały się identyczne. Możesz użyć metody mnożenia przez mianowniki albo wyznaczyć NWW, czyli najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Rozszerzanie zmienia zapis ułamka, ale nie zmienia jego wartości.
Po co sprowadza się ułamki do wspólnego mianownika?
Wspólny mianownik jest potrzebny przede wszystkim przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach. Ułatwia także porównywanie takich ułamków.
Rozszerzenie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Na przykład:
2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12
Ułamek 2/3 i ułamek 8/12 mają inną postać, ale oznaczają tę samą wartość. Nie wolno mnożyć tylko mianownika, ponieważ wtedy zmieniłaby się wartość ułamka.
Metoda mnożenia przez mianowniki
To uniwersalny sposób, który zawsze pozwala znaleźć wspólny mianownik dla dwóch ułamków. Każdy ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego ułamka.
Weźmy ułamki 2/3 i 3/4. Postępuj według kolejnych kroków:
- Pomnóż licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego: 2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12.
- Pomnóż licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego: 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12.
- Odczytaj wspólny mianownik. Oba ułamki mają teraz mianownik 12.
Otrzymujemy więc:
2/3 = 8/12 oraz 3/4 = 9/12
Metoda działa, ponieważ iloczyn mianowników jest podzielny zarówno przez pierwszy, jak i przez drugi mianownik. Jej wadą jest to, że wynik może zawierać większe liczby niż to konieczne. Przy ułamkach 1/6 i 1/4 otrzymamy mianownik 24, chociaż wystarczyłby mianownik 12:
1/6 = 4/24, a 1/4 = 6/24
Metoda z wykorzystaniem NWW
NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność. W tej metodzie szukasz najmniejszej liczby, która jest podzielna przez wszystkie mianowniki. Następnie rozszerzasz każdy ułamek tak, aby jego mianownik stał się równy NWW.
Dla ułamków 1/6 i 1/4 wykonaj następujące czynności:
- Wyznacz NWW mianowników. Wielokrotności 6 to między innymi 6, 12, 18, 24, a wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16. Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 12.
- Sprawdź, przez jaką liczbę trzeba pomnożyć mianownik pierwszego ułamka, aby otrzymać 12. Ponieważ 6 × 2 = 12, rozszerz 1/6 przez 2: 1/6 = (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12.
- Sprawdź, przez jaką liczbę trzeba pomnożyć mianownik drugiego ułamka, aby otrzymać 12. Ponieważ 4 × 3 = 12, rozszerz 1/4 przez 3: 1/4 = (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12.
Wynik to 2/12 i 3/12. W porównaniu z metodą mnożenia przez mianowniki otrzymujemy mniejsze liczby i nie trzeba później skracać ułamków.
Metoda NWW jest szczególnie przydatna, gdy mianowniki są swoimi wielokrotnościami. Dla ułamków 3/5 i 7/15 NWW wynosi 15. Wystarczy więc rozszerzyć pierwszy ułamek:
3/5 = (3 × 3)/(5 × 3) = 9/15
Ułamek 7/15 już ma właściwy mianownik, więc nie trzeba go zmieniać.
Przy większej liczbie ułamków NWW pozwala sprowadzić wszystkie do jednego, możliwie małego mianownika. Dla ułamków 1/3, 3/4 i 5/6 mamy NWW(3, 4, 6) = 12:
1/3 = 4/12, 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12
Metody sprowadzania ułamków – porównanie
| Cecha | Metoda mnożenia przez mianowniki | Metoda NWW |
|---|---|---|
| Łatwość użycia | Bardzo prosta przy dwóch ułamkach | Wymaga wyznaczenia NWW |
| Wielkość liczb | Często daje większy wspólny mianownik | Daje najmniejszy wspólny mianownik |
| Konieczność skracania | Często trzeba później skrócić ułamki | Zwykle nie ma takiej potrzeby |
| Zastosowanie | Szybkie obliczenia dla dwóch ułamków | Dwa lub więcej ułamków, zwłaszcza w rozbudowanych działaniach |
Którą metodę wybrać?
Dla dwóch ułamków obie metody są poprawne. Mnożenie przez mianowniki sprawdzi się, gdy zależy Ci na szybkim znalezieniu dowolnego wspólnego mianownika. Metoda NWW jest lepsza, gdy chcesz wykonywać dalsze działania na mniejszych liczbach.
Przy trzech lub większej liczbie ułamków najlepiej od razu wyznaczyć NWW wszystkich mianowników. Pozwala to uniknąć niepotrzebnie dużych liczb i dodatkowego skracania wyników.
Uważaj na najczęstszy błąd: licznik i mianownik zawsze trzeba mnożyć przez tę samą liczbę. Dzięki temu rozszerzenie zmienia tylko zapis ułamka, a nie jego wartość.
