Jak rozwiązać nierówność kwadratową? Poradnik krok po kroku

Nierówność kwadratową rozwiązujesz przez sprowadzenie jej do postaci \(ax^2+bx+c\ \square\ 0\), obliczenie delty, wyznaczenie miejsc zerowych, określenie kierunku ramion paraboli i odczytanie właściwego przedziału z wykresu.

Jaki jest schemat rozwiązania nierówności kwadratowej?

Traktuj wyrażenie po lewej stronie jak funkcję kwadratową \(f(x)=ax^2+bx+c\). Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały, a wykres paraboli pokazuje, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

Uniwersalny algorytm wygląda następująco:

1. Uporządkuj nierówność – przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę, tak aby po drugiej stronie było \(0\).
2. Odczytaj współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\), a następnie oblicz deltę \(\Delta=b^2-4ac\).
3. Wyznacz miejsca zerowe za pomocą wzorów \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) i \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), jeśli \(\Delta>0\).
4. Ustal kierunek ramion paraboli – dla \(a>0\) ramiona są skierowane w górę, a dla \(a
5. Odczytaj rozwiązanie z wykresu – wybierz fragmenty nad osią \(OX\) dla wartości dodatnich albo pod osią \(OX\) dla wartości ujemnych.

Jeżeli podczas przekształceń dzielisz nierówność przez liczbę ujemną, musisz zmienić kierunek znaku nierówności. Na przykład z \( -4x\geq 8\) otrzymasz \(x\leq -2\).

Jak delta i współczynnik \(a\) wpływają na wykres?

Delta określa liczbę miejsc zerowych, natomiast współczynnik \(a\) mówi, w którą stronę są skierowane ramiona paraboli.

Ujemna delta nie oznacza automatycznie, że nierówność nie ma rozwiązań. Oznacza tylko brak miejsc zerowych. Jeśli \(a>0\), cała parabola leży nad osią \(OX\), a jeśli \(a

Przykład: \(2x^2+3x-2

Rozwiążmy nierówność krok po kroku:

1. Wyznaczamy współczynniki:

   \[
   a=2,\qquad b=3,\qquad c=-2
   \]

2. Obliczamy deltę:

   \[
   \Delta=b^2-4ac
   \]

   \[
   \Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25
   \]

   Zatem \(\sqrt{\Delta}=5\).

3. Wyznaczamy miejsca zerowe:

   \[
   x_1=\frac{-3-5}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2
   \]

   \[
   x_2=\frac{-3+5}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
   \]

4. Określamy kierunek ramion. Ponieważ \(a=2>0\), parabola ma ramiona skierowane w górę. Taki wykres znajduje się pod osią \(OX\) pomiędzy miejscami zerowymi.

5. Odczytujemy rozwiązanie. Szukamy wartości mniejszych od zera, ponieważ mamy znak \(

   \[
   x\in\left(-2;\frac{1}{2}\right)
   \]

Jak zapisywać nawiasy w przedziałach?

Rodzaj nawiasu zależy od tego, czy miejsca zerowe spełniają nierówność. Zasady są następujące:

• Dla \(>0\) stosuj nawiasy otwarte przy miejscach zerowych.
• Dla \(
• Dla \(\geq0\) domykaj przedziały, ponieważ miejsca zerowe są uwzględnione.
• Dla \(\leq0\) domykaj przedziały, ponieważ miejsca zerowe są uwzględnione.
• Przy \(-\infty\) i \(+\infty\) zawsze używaj nawiasów otwartych.

Przykładowo, dla paraboli skierowanej w górę i dwóch miejsc zerowych \(x_1

\[
f(x)>0:\quad x\in(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)
\]

\[
f(x)\geq0:\quad x\in(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)
\]

\[
f(x)

\[
f(x)\leq0:\quad x\in[x_1;x_2]
\]

Dla paraboli skierowanej w dół układ jest odwrotny, dlatego nie wystarczy zapamiętać samego znaku nierówności. Zawsze uwzględnij kierunek ramion i odczytaj odpowiedni fragment wykresu.

Co oznacza delta ujemna?

Gdy \(\Delta

Przykład:

\[
2x^2-4x+5>0
\]

Dla tego trójmianu:

\[
\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot5=16-40=-24
\]

Delta jest ujemna, a \(a=2>0\). Parabola ma ramiona skierowane w górę i nie przecina osi \(OX\), więc znajduje się w całości nad tą osią. Wyrażenie jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej:

\[
x\in\mathbb{R}
\]

Gdyby nierówność miała postać \(2x^2-4x+5

Najważniejsza zasada brzmi: delta wyznacza liczbę miejsc zerowych, ale rozwiązanie nierówności odczytujesz dopiero po uwzględnieniu kierunku ramion paraboli i znaku nierówności.