Jak rozwiązać układ dwóch równań liniowych?

Układ dwóch równań liniowych rozwiązujesz, szukając pary liczb \((x,y)\), która spełnia oba równania jednocześnie. Najczęściej stosuje się metodę podstawiania albo metodę przeciwnych współczynników. Geometrycznie rozwiązanie jest punktem przecięcia dwóch prostych.

Czym jest układ dwóch równań liniowych?

Układ równań to zestaw równań z tymi samymi niewiadomymi. Dla dwóch niewiadomych \(x\) i \(y\) zapisuje się go najczęściej tak:

\[
\begin{cases}
ax+by=c\\
dx+ey=f
\end{cases}
\]

Rozwiązaniem jest para liczb \((x,y)\), która po podstawieniu daje prawdziwą równość w obu równaniach. Jeżeli potraktujesz równania jako proste na płaszczyźnie, szukasz ich wspólnego punktu.

Jakie są rodzaje układów?

Położenie dwóch prostych określa liczbę rozwiązań układu:

• Układ oznaczony ma jedno rozwiązanie. Proste przecinają się w jednym punkcie.
• Układ sprzeczny nie ma rozwiązań. Proste są równoległe i różne, więc nie mają punktów wspólnych.
• Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Proste pokrywają się, dlatego każda para punktów należących do tej prostej spełnia oba równania.

Metoda podstawiania – przykład krok po kroku

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania, a następnie zastąpieniu nią tej niewiadomej w drugim równaniu. Jest szczególnie wygodna, gdy przy \(x\) lub \(y\) stoi współczynnik \(1\) albo \(-1\).

Rozwiążmy układ:

\[
\begin{cases}
2x+y=7\\
x-y=2
\end{cases}
\]

1. Wyznacz jedną niewiadomą. Z drugiego równania otrzymujemy:
   \[
   x-y=2 \quad \Rightarrow \quad y=x-2.
   \]
2. Podstaw wyrażenie do drugiego równania. Wstawiamy \(y=x-2\) do pierwszego równania:
   \[
   2x+(x-2)=7.
   \]
3. Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą.
   \[
   3x-2=7,\qquad 3x=9,\qquad x=3.
   \]
4. Oblicz drugą niewiadomą. Podstawiamy \(x=3\) do wzoru \(y=x-2\):
   \[
   y=3-2=1.
   \]

Rozwiązaniem układu jest para:

\[
\boxed{(x,y)=(3,1)}
\]

Możesz sprawdzić wynik, podstawiając go do obu równań: \(2\cdot3+1=7\) oraz \(3-1=2\).

Metoda przeciwnych współczynników – przykład krok po kroku

W tej metodzie przekształcasz równania tak, aby przy jednej niewiadomej pojawiły się przeciwne współczynniki. Po dodaniu równań stronami ta niewiadoma się redukuje.

Rozwiążmy układ:

\[
\begin{cases}
3x+2y=12\\
2x-2y=8
\end{cases}
\]

1. Przygotuj równania do dodawania. Współczynniki przy \(y\) to \(2\) i \(-2\), więc nie trzeba niczego mnożyć.
2. Dodaj równania stronami.
   \[
   (3x+2y)+(2x-2y)=12+8.
   \]
   Po redukcji \(y\) otrzymujemy:
   \[
   5x=20.
   \]
3. Rozwiąż powstałe równanie.
   \[
   x=4.
   \]
4. Podstaw wynik do jednego z równań. Korzystamy z pierwszego równania:
   \[
   3\cdot4+2y=12,\qquad 12+2y=12,\qquad y=0.
   \]

Rozwiązaniem jest więc:

\[
\boxed{(x,y)=(4,0)}
\]

Jeśli współczynniki nie są przeciwne, możesz pomnożyć całe równanie przez taką liczbę, aby się nimi stały. Trzeba wtedy pomnożyć przez tę liczbę każdy wyraz po obu stronach równania, a nie tylko jeden składnik.

Którą metodę wybrać?

Wybór zależy głównie od współczynników przy niewiadomych. Poniższe zestawienie pomaga szybko zdecydować, od czego zacząć:

W obu metodach najważniejsza jest kontrola znaków. Po obliczeniu \(x\) i \(y\) podstaw otrzymaną parę do obu równań. Jeśli obie równości są prawdziwe, rozwiązanie zostało wyznaczone poprawnie.