Jak rozwiązać zadanie z proporcji odwrotnej?
W zadaniu z proporcji odwrotnej nie stosujesz automatycznie mnożenia na krzyż. Najpierw sprawdź, czy wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej, a następnie wykorzystaj zasadę stałego iloczynu: x · y = const.
Dlaczego mnożenie na krzyż nie działa?
Najczęstszy błąd polega na potraktowaniu każdego zadania tekstowego jak proporcji prostej. Tymczasem liczba pracowników i czas wykonania tej samej pracy zachowują się odwrotnie. Gdy pracowników jest więcej, czas powinien się skrócić. Gdy pracowników jest mniej, praca potrwa dłużej.
W proporcji odwrotnej nie szukamy więc wartości, która rośnie razem z drugą. Szukamy takiej pary liczb, której iloczyn pozostaje stały. Dlatego w zadaniu z pracownikami mnożymy liczbę osób przez czas, a potem dzielimy otrzymaną wartość przez nową liczbę osób.
Proporcja prosta a odwrotna
Najpierw ustal, jak zmieniają się obie wielkości. Pomaga w tym następujące porównanie:
| Cecha | Proporcja prosta | Proporcja odwrotna |
|---|---|---|
| Relacja | Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej. | Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. |
| Działanie | Najczęściej stosuje się proporcję i mnożenie na krzyż. | Oblicza się stały iloczyn obu wielkości. |
| Przykład | Więcej produktów oznacza wyższą cenę przy tej samej cenie jednostkowej. | Więcej pracowników oznacza krótszy czas wykonania tej samej pracy. |
Dla proporcji odwrotnej obowiązuje wzór:
x · y = const
Oznacza to, że jeśli jedna para danych to 25 pracowników i 156 dni, stały iloczyn wynosi:
25 · 156 = 3900
Ta liczba opisuje tę samą pracę, niezależnie od tego, ile osób ją wykonuje. Gdy znasz nową liczbę pracowników, dzielisz przez nią stały iloczyn.
Jak rozwiązać zadanie krok po kroku?
Rozważmy zadanie: 25 pracowników wykonuje pracę w 156 dni. Ilu pracowników potrzeba, aby wykonać tę samą pracę w 100 dni?
- Wypisz dane – pierwsza para to 25 pracowników i 156 dni, a nowy czas wynosi 100 dni.
- Oblicz stały iloczyn – 25 · 156 = 3900. Jest to umowna całkowita ilość pracy wyrażona jako pracowniko-dni.
- Podziel iloczyn przez nową wartość – 3900 : 100 = 39. Do wykonania zadania w 100 dni potrzeba 39 pracowników.
- Sprawdź wynik logicznie – czas zmniejszył się ze 156 do 100 dni, więc liczba pracowników powinna wzrosnąć z 25 do 39. Wynik spełnia ten warunek.
Jeśli pytanie dotyczy liczby dodatkowych pracowników, odejmujesz początkową liczbę osób:
39 – 25 = 14
Trzeba więc zatrudnić 14 dodatkowych pracowników. Kontrola wyniku jest ważna, ponieważ pozwala szybko wykryć pomyłkę w ustawieniu danych. Przy proporcji odwrotnej większa liczba osób nie może prowadzić do dłuższego czasu, jeśli pozostałe warunki pracy się nie zmieniają.
Gdzie jeszcze występuje proporcja odwrotna?
Ten sam sposób rozumowania pojawia się w wielu zadaniach, w których suma pracy, droga albo objętość pozostaje taka sama:
- Prędkość i czas przejazdu – na tej samej trasie większa prędkość oznacza krótszy czas podróży.
- Wydajność kranu i czas napełniania – większy dopływ wody skraca czas napełniania basenu.
- Liczba obrotów koła i jego obwód – na tej samej drodze koło o mniejszym obwodzie wykona więcej obrotów.
W każdym przypadku zadaj sobie jedno pytanie: czy zwiększenie jednej wielkości powoduje zmniejszenie drugiej? Jeśli tak, oblicz iloczyn znanej pary danych i podziel go przez nową wartość. To najprostszy sposób, aby rozwiązać zadanie z proporcji odwrotnej bez błędnego mnożenia na krzyż.
