Jak sprawdzić, czy funkcja jest parzysta?

Funkcja jest parzysta, gdy dla każdego argumentu z jej dziedziny zachodzi równość \(f(-x)=f(x)\). Aby to sprawdzić, trzeba najpierw zbadać dziedzinę, a następnie obliczyć \(f(-x)\) i porównać wynik ze wzorem \(f(x)\). Wykres takiej funkcji jest symetryczny względem osi \(OY\).

Co oznacza, że funkcja jest parzysta?

Parzystość funkcji jest jej własnością algebraiczną. Nie należy mylić jej z parzystością liczby. W przypadku funkcji analizuje się zachowanie wartości dla argumentów przeciwnych, czyli dla \(x\) oraz \(-x\).

Funkcja \(f\) jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:

\(f(-x)=f(x)\)

Warunek ten musi być spełniony dla każdego \(x\) należącego do dziedziny funkcji. Oznacza to, że argumenty \(x\) i \(-x\) muszą jednocześnie należeć do dziedziny. Dziedzina funkcji parzystej musi więc być symetryczna względem zera. Przykładowo zbiór \(\mathbb{R}\), przedział \([-3,3]\) czy zbiór \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) mają tę własność.

Jak sprawdzić, czy funkcja jest parzysta?

Weryfikację można przeprowadzić według czterech kolejnych kroków:

• Sprawdź dziedzinę – upewnij się, że razem z każdym argumentem \(x\) należy do niej także \(-x\). Jeśli dziedzina nie jest symetryczna względem zera, funkcja nie jest parzysta.
• Podstaw \(-x\) za \(x\) – w podanym wzorze funkcji zastąp każdy argument \(x\) przez \(-x\).
• Uprość otrzymane wyrażenie – oblicz \(f(-x)\), korzystając między innymi z własności potęg i nawiasów.
• Porównaj wynik z \(f(x)\) – jeśli otrzymasz \(f(-x)=f(x)\), funkcja jest parzysta. Jeśli nie, nie ma tej własności.

Samo podstawienie \(-x\) nie wystarcza. Trzeba jeszcze doprowadzić wyrażenie do najprostszej postaci i porównać je z wyjściowym wzorem.

Przykłady sprawdzania parzystości

Przykład funkcji parzystej

Rozważmy funkcję:

\[
f(x)=x^2
\]

Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, który jest symetryczny względem zera. Obliczamy wartość dla argumentu przeciwnego:

\[
f(-x)=(-x)^2=x^2
\]

Zatem:

\[
f(-x)=x^2=f(x)
\]

Funkcja \(f(x)=x^2\) jest parzysta. Jej wykres, czyli parabola, pozostaje taki sam po odbiciu względem osi \(OY\).

Przykład funkcji nieparzystej

Sprawdźmy funkcję:

\[
f(x)=x^3
\]

Dziedziną jest \(\mathbb{R}\), więc warunek symetrii dziedziny jest spełniony. Podstawiamy \(-x\):

\[
f(-x)=(-x)^3=-x^3
\]

Otrzymaliśmy:

\[
f(-x)=-f(x)
\]

Ta funkcja nie jest parzysta. Jest nieparzysta, ponieważ spełnia warunek \(f(-x)=-f(x)\). Jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Przykład funkcji ani parzystej, ani nieparzystej

Weźmy funkcję:

\[
f(x)=x+1
\]

Po podstawieniu \(-x\) otrzymujemy:

\[
f(-x)=-x+1
\]

Wyrażenie \(-x+1\) nie jest równe \(x+1\), więc funkcja nie jest parzysta. Nie zachodzi też równość \(f(-x)=-f(x)\), ponieważ:

\[
-f(x)=-(x+1)=-x-1
\]

Funkcja \(f(x)=x+1\) nie jest zatem ani parzysta, ani nieparzysta.

Funkcja parzysta, nieparzysta czy żadna z nich?

Parzystość i nieparzystość nie tworzą jedynego możliwego podziału funkcji. Nie każda funkcja musi należeć do jednej z tych dwóch grup.

Najkrótsza metoda polega więc na sprawdzeniu dziedziny, obliczeniu \(f(-x)\) i porównaniu wyniku z \(f(x)\). Trzeba przy tym pamiętać, że symetria dziedziny względem zera jest warunkiem koniecznym, zanim jeszcze porówna się oba wyrażenia.