Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji?

Przedziały monotoniczności funkcji wyznacza się, analizując znak jej pierwszej pochodnej. Gdy f'(x) > 0, funkcja rośnie, a gdy f'(x) < 0, funkcja maleje. Najpierw trzeba jednak ustalić dziedzinę funkcji i punkty, w których pochodna jest równa zeru albo nie istnieje.

Jak pochodna wskazuje monotoniczność?

Pochodna w punkcie opisuje między innymi współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji, czyli kierunek jej lokalnych zmian. Dlatego znak pochodnej pozwala określić, czy wartości funkcji zwiększają się, czy zmniejszają.

Analizę wykonuje się na przedziałach, w których pochodna ma stały znak. Punkty, w których f'(x) = 0 lub pochodna nie istnieje, dzielą dziedzinę na części wymagające osobnego zbadania.

Algorytm wyznaczania przedziałów monotoniczności

W typowym zadaniu postępuj według następujących kroków:

1. Wyznacz dziedzinę funkcji. Sprawdź, dla jakich argumentów wzór funkcji ma sens. Dziedzina będzie obszarem, w którym można szukać przedziałów monotoniczności.
2. Oblicz pierwszą pochodną. Wyznacz wzór f'(x), korzystając z reguł różniczkowania.
3. Znajdź punkty krytyczne. Rozwiąż równanie f'(x) = 0 i sprawdź, gdzie pochodna nie istnieje, choć sama funkcja może być określona.
4. Zbadaj znak pochodnej. Podziel dziedzinę punktami krytycznymi, a następnie ustal, czy na każdym powstałym przedziale f'(x) jest dodatnia, czy ujemna. Możesz rozwiązać nierówności f'(x) > 0 i f'(x) < 0 albo sprawdzić znak po jednym punkcie z każdego przedziału.
5. Zapisz wynik. Przedziały, na których pochodna jest dodatnia, są przedziałami wzrostu funkcji. Te, na których pochodna jest ujemna, są przedziałami spadku.

Końce przedziałów można dołączyć do zapisu, gdy funkcja jest w nich określona i ciągła. W szkolnych zadaniach mówi się wtedy często o maksymalnych przedziałach monotoniczności. Jeśli w punkcie występuje nieciągłość albo punkt nie należy do dziedziny, trzeba pozostawić rozdzielenie przedziałów.

Znak pochodnej a zachowanie funkcji

Poniższa tabela służy jako szybkie przypomnienie podstawowej zależności:

Samo równanie f'(x) = 0 nie przesądza jeszcze, czy funkcja ma maksimum lub minimum. Trzeba sprawdzić znak pochodnej po obu stronach danego punktu.

Przykład: funkcja f(x) = x³ − 3x

Wyznaczmy przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = x³ − 3x

Jest to wielomian, więc jego dziedzina obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste:

D_f = ℝ

Najpierw obliczamy pochodną:

f'(x) = 3x² − 3

Wyłączamy 3 przed nawias:

f'(x) = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)

Następnie wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej:

3(x − 1)(x + 1) = 0

Stąd otrzymujemy:

x = −1 lub x = 1

Punkty −1 i 1 dzielą dziedzinę na trzy przedziały:

(−∞, −1),   (−1, 1),   (1, ∞)

Teraz analizujemy znak iloczynu 3(x − 1)(x + 1). Dla x = −2 pochodna jest dodatnia, dla x = 0 ujemna, a dla x = 2 ponownie dodatnia. Otrzymujemy więc:

• f'(x) > 0 na przedziale (−∞, −1),
• f'(x) < 0 na przedziale (−1, 1),
• f'(x) > 0 na przedziale (1, ∞).

Funkcja rośnie na przedziałach (−∞, −1) i (1, ∞), a maleje na przedziale (−1, 1). Ponieważ wielomian jest ciągły w każdym punkcie, końce przedziałów można dołączyć przy zapisie maksymalnych przedziałów:

Funkcja rośnie na (−∞, −1] oraz [1, ∞), a maleje na [−1, 1].

Przedziały wzrostu pozostają rozłączne. Nie zapisujemy ich jako jednego przedziału ani nie twierdzimy, że funkcja rośnie na ich sumie, ponieważ pomiędzy nimi znajduje się przedział, na którym funkcja maleje.

Na co uważać przy zapisie wyniku?

Najczęstsze pomyłki dotyczą nie samego różniczkowania, lecz interpretacji znaków i zapisu przedziałów:

• Dziedzina jest punktem wyjścia. Nie wolno wskazywać przedziałów zawierających argumenty, dla których funkcja nie jest określona.
• Nie wystarczy znaleźć miejsca zerowe pochodnej. Trzeba jeszcze zbadać znak pochodnej na każdym powstałym przedziale.
• Nie należy mylić przecinka z sumą zbiorów. Informację, że funkcja rośnie na dwóch rozłącznych przedziałach, zapisujemy na przykład jako „rośnie na (−∞, −1] oraz [1, ∞)”.
• Domknięcie końców wymaga ciągłości i określenia funkcji. Punkt wyłączony z dziedziny albo punkt nieciągłości rozdziela przedziały.

Najkrótsza reguła brzmi: wyznacz dziedzinę, policz pochodną, znajdź jej miejsca zerowe, zbadaj znak na kolejnych przedziałach i dopiero wtedy zapisz monotoniczność funkcji.