Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów?

Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty, zapisz postać y = ax + b, podstaw współrzędne obu punktów i rozwiąż powstały układ równań. W ten sposób obliczysz współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b.

Metoda układu równań

Wzór funkcji liniowej ma postać y = ax + b. Litera a oznacza współczynnik kierunkowy, a b – wyraz wolny. Jeżeli znasz dwa punkty należące do wykresu, możesz wyznaczyć obie niewiadome.

Dla punktów A = (x₁, y₁) oraz B = (x₂, y₂) postępuj według następujących kroków:

• Podstaw współrzędne punktu A do równania y = ax + b.
• Podstaw współrzędne punktu B do tego samego równania.
• Ułóż układ dwóch równań z niewiadomymi a i b.
• Rozwiąż układ równań, zwracając uwagę na znaki i kolejność współrzędnych.
• Zapisz wzór funkcji po wstawieniu obliczonych wartości.

Przykład obliczeniowy

Wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = (1, 3) oraz B = (2, 5).

1. Podstawiamy pierwszy punkt do wzoru y = ax + b:
   3 = a · 1 + b, czyli 3 = a + b.
2. Podstawiamy drugi punkt:
   5 = a · 2 + b, czyli 5 = 2a + b.
3. Tworzymy układ równań:
   a + b = 3
   2a + b = 5
4. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
   (2a + b) − (a + b) = 5 − 3
   a = 2
5. Obliczamy wyraz wolny. Wstawiamy a = 2 do pierwszego równania:
   2 + b = 3
   b = 1
6. Zapisujemy wzór funkcji:
   y = 2x + 1

Otrzymany wzór można sprawdzić, podstawiając współrzędne obu punktów. Dla x = 1 otrzymujemy y = 2 · 1 + 1 = 3, a dla x = 2 – y = 2 · 2 + 1 = 5. Oba punkty leżą więc na wykresie funkcji y = 2x + 1.

Szybsza metoda ze wzorem na współczynnik kierunkowy

Jeżeli punkty mają różne współrzędne x, możesz najpierw obliczyć współczynnik kierunkowy ze wzoru:

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Dla punktów A = (1, 3) i B = (2, 5) otrzymujemy:

a = (5 − 3) / (2 − 1) = 2

Następnie podstawiamy współrzędne jednego punktu do równania y = ax + b:

3 = 2 · 1 + b, więc b = 1.

Wynik jest taki sam: y = 2x + 1. Układ równań jest bardziej uniwersalny, natomiast wzór na a pozwala szybciej wykonać obliczenia.

[]

W przypadku treści matematycznych przedstawione obliczenia mają charakter edukacyjny. Przy zadaniach z ujemnymi współrzędnymi szczególnie dokładnie sprawdzaj znaki podczas podstawiania.