Kiedy funkcja jest parzysta, a kiedy nieparzysta?
Funkcja jest parzysta, gdy dla każdego argumentu z dziedziny spełnia warunek f(−x) = f(x). Jest nieparzysta, gdy f(−x) = −f(x). W obu przypadkach dziedzina musi być symetryczna względem zera, czyli razem z x musi zawierać także −x. Są to własności opisujące symetrię wykresu, ale funkcja może nie być ani parzysta, ani nieparzysta.
Definicje funkcji parzystej i nieparzystej
Przed sprawdzeniem równości trzeba zbadać dziedzinę funkcji. Jeżeli pewien argument x należy do dziedziny, to jego przeciwieństwo −x również powinno do niej należeć. Bez tego nie można poprawnie porównywać wartości f(−x) i f(x) dla wszystkich argumentów.
| Typ funkcji | Warunek | Symetria wykresu |
|---|---|---|
| Parzysta | f(−x) = f(x) | Względem osi OY |
| Nieparzysta | f(−x) = −f(x) | Względem początku układu współrzędnych (0, 0) |
Wykres funkcji parzystej po odbiciu względem osi OY pozostaje taki sam. Wykres funkcji nieparzystej nie zmienia się po obrocie o 180° wokół początku układu współrzędnych.
Jak sprawdzić, kiedy funkcja jest parzysta lub nieparzysta?
Badanie wzoru funkcji można przeprowadzić według trzech kolejnych kroków:
- Wyznacz dziedzinę funkcji. Sprawdź, czy jest symetryczna względem zera, czyli czy z każdego x należącego do dziedziny wynika także −x należące do dziedziny.
- Oblicz f(−x). W podanym wzorze zastąp każdą zmienną x przez −x, a następnie uprość otrzymane wyrażenie.
- Porównaj wynik. Jeśli f(−x) = f(x), funkcja jest parzysta. Jeśli f(−x) = −f(x), funkcja jest nieparzysta. Gdy nie zachodzi żadna z tych równości, funkcja nie należy do żadnej z tych grup.
Wystarczy znaleźć jeden argument, dla którego odpowiednia równość nie zachodzi, aby wykluczyć daną własność. Samo stwierdzenie, że funkcja nie jest parzysta, nie oznacza jednak automatycznie, że jest nieparzysta.
Przykłady funkcji parzystych i nieparzystych
Funkcja parzysta
Rozważmy funkcję:
f(x) = x2
Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, który jest symetryczny względem zera. Po podstawieniu −x otrzymujemy:
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)
Funkcja jest więc parzysta, a jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
Podobnie zachowuje się funkcja cosinus, ponieważ cos(−x) = cos(x). Do funkcji parzystych należą także wielomiany zawierające wyłącznie parzyste potęgi zmiennej, na przykład x4 − 3x2 + 1.
Funkcja nieparzysta
Rozważmy funkcję:
f(x) = x3
Dziedziną jest ponownie zbiór liczb rzeczywistych. Obliczamy:
f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x)
Funkcja jest nieparzysta. Jej wykres ma symetrię środkową względem punktu (0, 0). Przykładami funkcji nieparzystych są także sinus oraz funkcja f(x) = x ln(x2 − 4), której dziedzina wynosi (−∞, −2) ∪ (2, ∞).
Warto zapamiętać kilka typowych przykładów:
- Funkcje parzyste – x2, x4, cos(x), |x|.
- Funkcje nieparzyste – x, x3, sin(x), tan(x), gdy są określone.
- Funkcje ani parzyste, ani nieparzyste – ex, sin(x) + cos(x), x e2 − x.
Funkcja, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta
Weźmy funkcję wykładniczą:
f(x) = ex
Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Po podstawieniu −x otrzymujemy:
f(−x) = e−x
Zwykle e−x nie jest równe ex, więc funkcja nie jest parzysta. Nie zachodzi także równość e−x = −ex, dlatego nie jest nieparzysta.
Tak samo funkcja f(x) = sin(x) + cos(x) nie spełnia żadnego z warunków:
f(−x) = sin(−x) + cos(−x) = −sin(x) + cos(x)
To wyrażenie nie jest ani równe f(x), ani równe −f(x). Funkcja należy więc do grupy funkcji, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste.
Najczęstsze błędy
Pierwszym błędem jest pominięcie dziedziny. Na przykład dla funkcji logarytmicznej lub pierwiastkowej trzeba najpierw ustalić, dla jakich x wzór ma sens. Dopiero potem można sprawdzać symetrię dziedziny i obliczać f(−x).
Drugim błędem jest nieuważne podstawianie −x. Każdy czynnik zawierający x powinien zostać zmieniony, a przy potęgach należy pamiętać, że (−x)2 = x2, natomiast (−x)3 = −x3.
Nie jest też prawdą, że każda funkcja musi być parzysta albo nieparzysta. Większość funkcji nie ma żadnej z tych własności. Szczególnym przypadkiem jest funkcja zerowa f(x) = 0, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta, ponieważ spełnia oba równania.
Najkrótsza zasada brzmi: najpierw sprawdź symetrię dziedziny, potem wyznacz f(−x), a na końcu porównaj wynik z f(x) oraz −f(x).
