Kiedy funkcja jest wypukła, a kiedy wklęsła?

Funkcja jest wypukła, gdy jej wykres ma kształt „uśmiechu” i leży nad swoimi stycznymi. Jest wklęsła, gdy wykres ma kształt „smutny” i znajduje się pod stycznymi. Najprościej rozstrzygnąć to za pomocą drugiej pochodnej: gdy f”(x) > 0, funkcja jest wypukła, a gdy f”(x) < 0 – wklęsła.

Czym różni się wypukłość od wklęsłości?

Wypukłość i wklęsłość opisują kształt wykresu funkcji, a nie to, czy funkcja rośnie, czy maleje. Wykres funkcji wypukłej leży nad styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie rozważanego przedziału. Można też powiedzieć, że łuk wykresu znajduje się pod cięciwą łączącą dwa punkty tego wykresu.

W przypadku funkcji wklęsłej sytuacja jest odwrotna: wykres leży pod swoimi stycznymi, a między dwoma punktami znajduje się nad odpowiednią cięciwą. Określenia „uśmiechnięta” i „smutna” pomagają zapamiętać kształt, ale ostateczny wniosek w zadaniu wynika z analizy znaku drugiej pochodnej.

Jak druga pochodna wskazuje wypukłość?

Druga pochodna opisuje, jak zmienia się nachylenie wykresu. Jeżeli f”(x) jest dodatnia, nachylenie rośnie, więc wykres wygina się ku górze. Jeżeli f”(x) jest ujemna, nachylenie maleje i wykres wygina się ku dołowi.

W praktyce nie wystarczy znaleźć miejsca, w którym druga pochodna wynosi zero. Trzeba jeszcze zbadać, jaki znak ma f”(x) w poszczególnych przedziałach. Dopiero ten znak pozwala wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości.

Jak zbadać wypukłość funkcji krok po kroku?

Standardowa procedura obejmuje cztery podstawowe czynności:

• Wyznacz dziedzinę funkcji – sprawdź, dla jakich wartości x funkcja oraz jej druga pochodna są określone.
• Oblicz pierwszą i drugą pochodną – do badania wypukłości potrzebujesz przede wszystkim wyrażenia f”(x).
• Znajdź miejsca zerowe drugiej pochodnej – rozwiąż równanie f”(x) = 0 i zaznacz także punkty, w których druga pochodna nie istnieje, jeśli należą do dziedziny funkcji.
• Zbadaj znak f”(x) w wyznaczonych przedziałach – tam, gdzie druga pochodna jest dodatnia, funkcja jest wypukła, a tam, gdzie jest ujemna, wklęsła.

Przykładowo, dla funkcji f(x) = (x − 2)(x² − 4) otrzymujemy po rozwinięciu f(x) = x³ − 2x² − 4x + 8, a następnie:

f'(x) = 3x² − 4x − 4

f”(x) = 6x − 4 = 2(3x − 2)

Dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Miejsce zerowe drugiej pochodnej wyznaczamy z równania:

6x − 4 = 0,   x = ²⁄₃

Teraz badamy znak f”(x). Dla x < ²⁄₃ druga pochodna jest ujemna, więc funkcja jest wklęsła w przedziale (−∞, ²⁄₃). Dla x > ²⁄₃ druga pochodna jest dodatnia, zatem funkcja jest wypukła w przedziale (²⁄₃, ∞).

W tym zadaniu nie podaje się przedziałów monotoniczności, ponieważ monotoniczność dotyczy wzrostu i spadku funkcji, a nie jej kształtu. Do zbadania monotoniczności wykorzystuje się pierwszą pochodną, natomiast do wypukłości i wklęsłości – drugą.

Czym jest punkt przegięcia?

Punkt przegięcia to punkt, w którym funkcja zmienia rodzaj wypukłości, czyli przechodzi z wypukłej we wklęsłą albo odwrotnie. W analizie funkcji szuka się go zwykle wśród miejsc zerowych drugiej pochodnej, ale samo równanie f”(x) = 0 nie wystarcza do potwierdzenia jego istnienia.

Trzeba sprawdzić, czy po lewej i prawej stronie rozważanej wartości zmienia się znak drugiej pochodnej. Jeżeli na przykład przed punktem f”(x) < 0, a za punktem f”(x) > 0, funkcja przechodzi z wklęsłej w wypukłą i punkt jest punktem przegięcia. Jeśli znak się nie zmienia, punktu przegięcia nie ma.

W podanym przykładzie znak f”(x) zmienia się przy x = ²⁄₃, dlatego wykres ma tam punkt przegięcia. Samo f”(²⁄₃) = 0 było tylko kandydaturą do dalszego sprawdzenia.

O czym pamiętać?

Wypukłość i monotoniczność opisują dwie różne cechy funkcji:

• Monotoniczność określa, czy funkcja rośnie, czy maleje.
• Wypukłość i wklęsłość określają, w którą stronę wygina się jej wykres.
• Do monotoniczności bada się znak pierwszej pochodnej.
• Do wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia bada się znak drugiej pochodnej.

Najważniejsza reguła brzmi: f”(x) > 0 oznacza wypukłość, f”(x) < 0 oznacza wklęsłość, a f”(x) = 0 wymaga sprawdzenia zmiany znaku pochodnej.