Odchylenie standardowe – co to jest i jak je obliczyć?

Odchylenie standardowe to miara rozproszenia danych wokół średniej arytmetycznej. Mała wartość oznacza, że wyniki są do siebie podobne, a duża wskazuje na większe zróżnicowanie. Wynik odchylenia standardowego jest wyrażony w tych samych jednostkach co badane dane, na przykład w złotych, centymetrach lub stopniach Celsjusza.

Czym jest odchylenie standardowe?

Wyobraź sobie dwa zespoły, w których średnie wynagrodzenie wynosi 5000 zł. W pierwszym każdy pracownik zarabia dokładnie tyle samo. W drugim część osób otrzymuje 2000 zł, a część 8000 zł. Sama średnia nie pokazuje tej różnicy. Odchylenie standardowe już tak.

Określa ono, jak bardzo poszczególne wartości różnią się od średniej arytmetycznej. Im mniejsze odchylenie, tym bardziej obserwacje skupiają się wokół średniej i tym większa jest stabilność wyników. Im większe, tym większy rozrzut danych.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Dzięki temu, w przeciwieństwie do wariancji, ma tę samą jednostkę co analizowana cecha. Dla danych podanych w złotych otrzymamy wynik w złotych, a dla pomiarów wzrostu – w centymetrach.

Jak interpretować wynik?

Można przyjąć intuicyjnie, że odchylenie standardowe mówi, o ile wartości przeciętnie różnią się od średniej. Trzeba jednak pamiętać, że nie jest to zwykła średnia różnic, ponieważ w obliczeniach wykorzystuje się kwadraty odchyleń.

Przykładowo średnia temperatura w dwóch miejscowościach może wynosić 10°C. W jednej temperatury przez cały rok oscylują wokół tej wartości, a w drugiej latem wynoszą 25°C, a zimą –5°C. Druga miejscowość będzie miała większe odchylenie standardowe, czyli większą zmienność temperatur.

Wynik może silnie zależeć od wartości odstających. Jedna wyjątkowo wysoka pensja, pojedynczy bardzo drogi produkt albo błędny pomiar może wyraźnie zwiększyć odchylenie. Dlatego nie należy analizować go w oderwaniu od średniej, mediany i samego rozkładu danych.

Jak obliczyć odchylenie standardowe?

Obliczenia można przedstawić na przykładzie zbioru liczb 1, 2 i 3. Najpierw ustalamy średnią, która wynosi 2. Następnie wykonujemy kolejne działania:

1. Oblicz średnią arytmetyczną wszystkich wartości.
2. Oblicz różnicę każdej wartości od średniej.
3. Podnieś każdą różnicę do kwadratu, aby pozbyć się znaków ujemnych.
4. Oblicz średnią z otrzymanych kwadratów. Wynik to wariancja.
5. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Dla wskazanego przykładu obliczenie wygląda tak: √[((1 – 2)² + (2 – 2)² + (3 – 2)²) / 3] = √(2/3) ≈ 0,82. Odchylenie standardowe populacji wynosi więc około 0,82.

W praktyce kolejność jest ważniejsza niż zapamiętanie całego wzoru. Najpierw wyznaczasz punkt odniesienia, czyli średnią, potem mierzysz odległość danych od tego punktu, a na końcu sprowadzasz wynik z powrotem do pierwotnej jednostki za pomocą pierwiastka.

Populacja a próba – kiedy użyć n, a kiedy n-1?

To częsta pułapka dla początkujących. Wzór zależy od tego, czy analizujesz wszystkie interesujące Cię dane, czy tylko ich część i na jej podstawie chcesz wnioskować o większej zbiorowości.

W przypadku próby stosuje się mianownik n – 1, nazywany poprawką Bessela. Średnia obliczona z próby jest tylko przybliżeniem średniej całej populacji. Dzielenie przez mniejszą liczbę częściowo koryguje wynik, który w przeciwnym razie byłby zwykle zaniżony przy szacowaniu zmienności populacji.

Odchylenie standardowe próby będzie przy tych samych danych nieco większe niż odchylenie policzone z mianownikiem n. Różnica jest bardziej widoczna przy małych zbiorach, a przy dużej liczbie obserwacji zwykle się zmniejsza.

W Excelu funkcja ODCH.STANDARD.POPUL.A służy do obliczeń dla całej populacji, a ODCH.STANDARD.PRÓBKI – do obliczeń na podstawie próby. Nazwy funkcji mogą zależeć od wersji programu, dlatego przed użyciem trzeba sprawdzić, czy wybrana funkcja dzieli przez n, czy przez n – 1.

Gdzie wykorzystuje się odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe pomaga ocenić, czy dane są stabilne, czy mocno się wahają. Dlatego pojawia się w wielu dziedzinach:

• Finanse – większe odchylenie stóp zwrotu oznacza większą zmienność inwestycji, a często także większe ryzyko.
• Kontrola jakości – niewielkie odchylenie wymiarów lub masy produktów świadczy o większej powtarzalności procesu.
• Nauka i pomiary – pokazuje, jak bardzo powtarzane pomiary różnią się między sobą.
• Analiza biznesowa – pozwala porównywać stabilność sprzedaży, wynagrodzeń, czasu realizacji zadań albo wyników zespołów.

W przypadku danych o rozkładzie zbliżonym do normalnego często przyjmuje się, że około 68% obserwacji mieści się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej. Nie jest to jednak uniwersalna reguła. Przy asymetrycznych danych lub silnych wartościach odstających taki wniosek może być mylący.

Najważniejsze jest rozróżnienie: średnia mówi, gdzie znajduje się centrum danych, a odchylenie standardowe pokazuje, jak szeroko dane są wokół tego centrum rozproszone.