Wzór Bayesa – kiedy stosować i jak obliczać prawdopodobieństwo?

Wzór Bayesa stosujemy wtedy, gdy znamy skutek i chcemy ustalić prawdopodobieństwo jego konkretnej przyczyny. To wnioskowanie wsteczne: zamiast pytać „co się stanie, jeśli wystąpi dana przyczyna?”, pytamy „skoro zaobserwowaliśmy wynik, która przyczyna mogła go wywołać?”.

Dlaczego wzór Bayesa bywa mylony z warunkowym?

Oba narzędzia wykorzystują prawdopodobieństwo warunkowe, dlatego ich zapisy mogą wydawać się podobne. Różnica nie polega jednak na samym występowaniu warunku, lecz na kierunku wnioskowania.

Najpierw trzeba rozpoznać, które zdarzenie jest przyczyną, a które skutkiem. Jeśli przyczyna jest znana, a obliczamy szansę wystąpienia skutku, mamy zwykłe prawdopodobieństwo warunkowe. Jeśli skutek już zaobserwowano, a szukamy prawdopodobieństwa przyczyny, stosujemy twierdzenie Bayesa.

A priori i a posteriori – na czym polega różnica?

Prawdopodobieństwo a priori opisuje stan wiedzy przed zaobserwowaniem wyniku. Znamy możliwe przyczyny lub hipotezy i pytamy, z jaką szansą pojawi się określony skutek. Przykładowo możemy obliczać prawdopodobieństwo wygranej, zanim wykonamy doświadczenie.

Prawdopodobieństwo a posteriori uwzględnia informację, którą otrzymaliśmy po doświadczeniu. Znamy już skutek i aktualizujemy ocenę prawdopodobieństwa poszczególnych przyczyn. Przykładem jest pytanie: „Skoro test dał wynik dodatni, jakie jest prawdopodobieństwo, że badana osoba rzeczywiście ma daną chorobę?”.

W tym sensie twierdzenie Bayesa nie jest tylko wzorem do mechanicznego podstawiania danych. Pozwala przekształcić prawdopodobieństwo przyczyny przed obserwacją w prawdopodobieństwo tej przyczyny po uzyskaniu nowej informacji.

Prawdopodobieństwo warunkowe czy wzór Bayesa?

Najłatwiej rozróżnić oba podejścia, porównując pytania, na które odpowiadają:

W zapisie P(A|B) pytamy o prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło B. Twierdzenie Bayesa pozwala odwrócić kolejność i wyznaczyć P(B|A), korzystając z informacji o P(A|B), P(B) oraz prawdopodobieństwie samego A.

Kiedy stosować wzór Bayesa?

W treści zadania szukaj sytuacji, w której kilka możliwych przyczyn prowadzi do tego samego zaobserwowanego wyniku. Pomocne są następujące sygnały:

• Wiadomo, że zaszło określone zdarzenie, a pytanie dotyczy jego przyczyny.
• Występuje zwrot „pod warunkiem, że”, „jeśli wiadomo, że” albo „przy założeniu, że”, a podany warunek opisuje już znany skutek.
• Trzeba ustalić, z której urny pochodzi wylosowana kula albo którą kostką wykonano rzut.
• Znany jest wynik testu, kontroli lub obserwacji, a pytanie dotyczy prawdopodobieństwa ukrytej przyczyny.
• Kilka hipotez może wyjaśniać ten sam wynik i trzeba porównać ich prawdopodobieństwa.

Sam zwrot „pod warunkiem, że” nie przesądza jeszcze o użyciu Bayesa. Zawsze sprawdź, czy znany warunek jest przyczyną, czy skutkiem. To właśnie ten etap rozumowania decyduje o wyborze wzoru.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo krok po kroku?

Rozważmy prosty przykład. Losowo wybieramy jedną z dwóch urn. Prawdopodobieństwo wyboru każdej urny wynosi 1/2. W urnie A znajduje się 8 białych i 2 czarne kule, a w urnie B – 3 białe i 7 czarnych. Wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z urny A?

1. Zidentyfikuj zdarzenia – hipoteza A oznacza wybór urny A, a zdarzenie B oznacza wylosowanie białej kuli.
2. Ustal prawdopodobieństwa a priori – P(A) = 1/2 oraz P(B) = 1/2, ponieważ obie urny wybieramy z takim samym prawdopodobieństwem.
3. Wyznacz prawdopodobieństwa warunkowe – P(B|A) = 8/10, natomiast P(B|nie A) = 3/10.
4. Oblicz prawdopodobieństwo całkowite białej kuli – P(B) = (8/10 · 1/2) + (3/10 · 1/2) = 11/20.
5. Zastosuj wzór Bayesa – P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) = (8/10 · 1/2) / (11/20) = 8/11.

Ostatecznie prawdopodobieństwo, że biała kula pochodzi z urny A, wynosi 8/11. Mimo że urny były wybierane równie często, biała kula silniej wskazuje na urnę A, ponieważ znajduje się w niej częściej.

Mianownik wzoru, czyli prawdopodobieństwo całkowite P(B), uwzględnia wszystkie drogi prowadzące do zaobserwowanego skutku. Można je zapisać ogólnie jako:

P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|nie A) · P(nie A)

Pomocą w takich zadaniach może być drzewo stochastyczne. Najpierw umieszczasz na nim możliwe przyczyny, potem wyniki. Prawdopodobieństwo każdej gałęzi obliczasz przez mnożenie wartości na jej krawędziach, a prawdopodobieństwo skutku otrzymujesz przez dodanie prawdopodobieństw wszystkich gałęzi, które do niego prowadzą.

Najważniejsza zasada

Jeśli znasz wynik i pytasz o jego przyczynę, stosuj wzór Bayesa. Jeśli znasz przyczynę lub warunek i chcesz obliczyć szansę skutku, wystarczy prawdopodobieństwo warunkowe. W razie wątpliwości narysuj kierunek zależności: przyczyna → skutek oznacza rozumowanie wprost, a skutek → przyczyna wskazuje na Bayesa.