Ciągi arytmetyczne – Krótka charakteryzacja
Ciągi arytmetyczne to sekwencje liczb, w których każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość, którą nazywamy różnicą. Przykładem prostego ciągu arytmetycznego może być: 2, 4, 6, 8, 10, gdzie różnica wynosi 2. Ciągi arytmetyczne są powszechnie spotykane w matematyce, fizyce, ekonomii i wielu innych dziedzinach nauki.
Suma ciągu arytmetycznego – Wzór ogólny
Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego, możemy skorzystać z ogólnego wzoru. Załóżmy, że mamy ciąg arytmetyczny o pierwszym elemencie a1, różnicy d i n elementach. Wzór na sumę tego ciągu to:
Sn = n⁄2 [2a1 + (n-1)d]
Gdzie:
- Sn to suma ciągu,
- n to liczba elementów ciągu,
- a1 to pierwszy element ciągu,
- d to różnica między elementami ciągu.
Przykłady i zastosowania wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom, aby zobaczyć, jak stosować ten wzór w praktyce.
Przykład 1: Obliczanie sumy ciągu arytmetycznego
Rozważmy ciąg arytmetyczny: 3, 6, 9, 12, 15. Możemy zauważyć, że różnica między kolejnymi elementami wynosi 3, a pierwszy element to 3. Chcemy obliczyć sumę pierwszych 4 elementów tego ciągu (n = 4).
S4 = 4⁄2 [2 * 3 + (4-1) * 3] = 30
Czyli suma pierwszych 4 elementów tego ciągu wynosi 30.
Przykład 2: Zastosowania w rzeczywistości
Wzór na sumę ciągu arytmetycznego ma liczne zastosowania w życiu codziennym. Przykładem może być budżet domowy. Załóżmy, że miesięczne przychody rodziny wynoszą 3000 zł, a miesięczne wydatki to 2000 zł. Możemy obliczyć sumę przychodów i wydatków na przestrzeni roku (12 miesięcy) jako ciąg arytmetyczny.
S12 = 12⁄2 [2 * 1000 + (12-1) * 0] = 12000 zł
To oznacza, że suma rocznych przychodów minus wydatków wynosi 12 000 zł.
