Średnia czy mediana – kiedy stosować każdą z nich?

Średnia i mediana opisują centrum zbioru danych, ale robią to na różne sposoby. Średnia pokazuje punkt równowagi wszystkich wartości, a mediana wskazuje obserwację znajdującą się pośrodku uporządkowanego zbioru. Wybór zależy przede wszystkim od kształtu rozkładu, obecności wartości odstających, rodzaju skali oraz celu analizy.

Jak działają średnia i mediana?

Średnia arytmetyczna powstaje przez dodanie wszystkich wartości i podzielenie sumy przez liczbę obserwacji. Każda obserwacja wpływa więc na wynik. Dzięki temu średnia dobrze odpowiada na pytania związane z łączną wartością, ale reaguje także na bardzo duże lub bardzo małe wyniki.

Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych od najmniejszej do największej. Gdy obserwacji jest nieparzysta liczba, wybiera się jedną środkową wartość. Przy parzystej liczbie obserwacji medianą jest średnia dwóch środkowych wartości. Jej położenie zależy od kolejności danych, a nie od odległości między skrajnymi wynikami.

Załóżmy, że pięć osób zarabia 5000, 5200, 5400, 5600 i 100 000 zł. Mediana wynosi 5400 zł, ponieważ właśnie ta wartość znajduje się w środku szeregu. Średnia jest znacznie wyższa, bo uwzględnia także wynagrodzenie 100 000 zł. Taki wynik nie jest błędem rachunkowym, ale może słabo opisywać zarobki typowej osoby w tej grupie.

W rozkładzie symetrycznym średnia i mediana zwykle są do siebie zbliżone. W rozkładzie prawostronnie skośnym, czyli z długim ogonem po stronie wysokich wartości, średnia najczęściej znajduje się powyżej mediany. To sygnał, że kilka dużych obserwacji wpływa na obraz całego zbioru.

Kiedy stosować średnią, a kiedy medianę?

Najpierw określ, co chcesz przekazać. Średnia odpowiada na pytanie, jaka wartość przypadałaby na każdą obserwację, gdyby całkowitą sumę rozdzielić równo. Mediana odpowiada raczej na pytanie, jaka wartość jest typowa dla osoby lub obserwacji znajdującej się w środku szeregu.

Nie należy traktować tej tabeli jak bezwarunkowej reguły. Średnia może być właściwa także dla danych skośnych, gdy analiza dotyczy sumy, bilansu albo średniego obciążenia całej grupy. Mediana może z kolei nie wystarczyć, gdy ważne są różnice między wszystkimi wartościami.

Przykłady zastosowania

Dochody gospodarstw domowych

Dochody są często prawostronnie skośne. Większość osób znajduje się w określonym przedziale, a niewielka grupa uzyskuje znacznie wyższe kwoty. W takiej sytuacji mediana zwykle lepiej pokazuje dochód typowego gospodarstwa. Średnia może być przydatna równolegle, ale jej interpretacja powinna uwzględniać wpływ najwyższych dochodów.

Jeżeli firma zatrudnia 100 osób i chce oszacować, ile łącznie przeznacza na wynagrodzenia, średnia jest naturalnym wyborem. Pomnożenie średniego wynagrodzenia przez liczbę pracowników daje całkowity koszt płac. W tym przypadku celem nie jest opisanie typowego pracownika, lecz podsumowanie całej kwoty.

Wyniki testów

Przy wynikach testu, które są w przybliżeniu symetryczne i nie zawierają nietypowych obserwacji, średnia często dobrze opisuje grupę. Pozwala też wykorzystać różnice między wynikami. Jeżeli jednak kilka osób uzyskało wyjątkowo niskie albo wyjątkowo wysokie rezultaty, warto sprawdzić medianę i porównać ją ze średnią.

Sama różnica między tymi miarami może być informacją o rozkładzie. Gdy średnia jest wyraźnie wyższa od mediany, warto poszukać wysokich wartości odstających lub prawostronnej skośności. Nie oznacza to automatycznie, że średnia jest „zła”. Oznacza tylko, że opisuje inny aspekt danych niż mediana.

Oceny i skale Likerta

Oceny szkolne oraz odpowiedzi typu „zdecydowanie się nie zgadzam” do „zdecydowanie się zgadzam” mają charakter porządkowy. Można je uporządkować, ale nie zawsze wiadomo, czy różnica między każdą parą sąsiednich kategorii ma takie samo znaczenie.

Dlatego mediana jest tu bezpieczniejszym opisem pozycji środkowej. Średnia bywa jednak stosowana w praktyce, szczególnie przy większych zbiorach danych i skalach złożonych z wielu pozycji. Wymaga to świadomego założenia, że operowanie odległościami między odpowiedziami ma sens. Nie powinno się przedstawiać takiego wyboru jako jedynej dopuszczalnej metody.

Warto też pamiętać, że mediana może ukryć część różnic. Dwóch uczniów może mieć tę samą medianę ocen, choć jeden otrzymuje niemal wyłącznie trójki, a drugi łączy trójki z bardzo wysokimi ocenami. Średnia pokaże wtedy różnicę, której sama mediana nie ujawni.

Jak wybrać miarę dla konkretnego zbioru?

Przed obliczeniem wyniku przejdź przez poniższe pytania. Pomagają połączyć właściwości danych z celem analizy:

• Czy są wartości odstające? Jeśli tak, wybierz medianę, gdy chcesz opisać typową obserwację. Średnią zostaw wtedy, gdy skrajne wartości są rzeczywistą i ważną częścią analizowanej sumy.
• Czy rozkład jest skośny? Przy wyraźnej asymetrii mediana zwykle lepiej przedstawia centrum. Przy rozkładzie zbliżonym do symetrycznego średnia często daje stabilny opis.
• Czy dane mają skalę ilościową? Jeśli różnice między wartościami mają jasną interpretację, średnia może być uzasadniona. Gdy znana jest głównie kolejność, rozważ medianę.
• Chcesz opisać typową osobę czy całą sumę? Dla typowego przypadku wybierz medianę, a dla średniego obciążenia, kosztu lub łącznej wartości częściej wybierz średnią.
• Czy jedna miara nie ukrywa ważnych informacji? Przy niepewnym rozkładzie pokaż średnią razem z medianą. Ich różnica może ujawnić skośność albo wpływ wartości odstających.

W rozkładach wielomodalnych ani średnia, ani mediana nie zawsze wystarczają. Gdy dane tworzą kilka wyraźnych skupień, jedna liczba może zacierać różnice między grupami. Wtedy trzeba opisać także strukturę zbioru, a nie tylko jego centrum.

Najważniejszy wniosek

Średnia jest miarą punktu równowagi wszystkich wartości i dobrze służy analizie sum, kosztów oraz danych o symetrycznym rozkładzie. Mediana pokazuje typową pozycję w szeregu, dlatego zwykle lepiej sprawdza się przy skośności, wartościach odstających i danych porządkowych. Zanim wybierzesz jedną z nich, sprawdź rozkład oraz zastanów się, jaki aspekt danych chcesz zakomunikować.