Jak obliczyć rozkład dwumianowy?
Aby obliczyć prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym, użyj wzoru \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Parametr \(n\) oznacza liczbę prób, \(k\) – liczbę sukcesów, a \(p\) – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie.
Czym jest rozkład dwumianowy?
Rozkład dwumianowy opisuje liczbę sukcesów w ustalonej liczbie niezależnych prób. Każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki, na przykład sukces albo porażkę. Taki model nazywa się także schematem Bernoulliego.
Jeżeli zmienna losowa \(X\) oznacza liczbę sukcesów w \(n\) próbach, to prawdopodobieństwo dokładnie \(k\) sukcesów wynosi:
\[
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]
Symbol \(\binom{n}{k}\), nazywany symbolem Newtona, oblicza się ze wzoru:
\[
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
W tym zapisie \(p\) oznacza prawdopodobieństwo sukcesu, a \(q=1-p\) jest prawdopodobieństwem porażki. Wzór można więc zapisać również jako \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\).
Kiedy można stosować rozkład dwumianowy?
Przed rozpoczęciem obliczeń sprawdź, czy sytuacja spełnia cztery warunki schematu Bernoulliego:
- liczba prób jest ustalona i wynosi \(n\),
- każda próba kończy się sukcesem albo porażką,
- wyniki poszczególnych prób są niezależne,
- prawdopodobieństwo sukcesu \(p\) pozostaje takie samo w każdej próbie.
Przykładem może być wielokrotny rzut monetą. Sukcesem może być wypadnięcie reszki, a porażką – orła. Jeżeli moneta jest symetryczna, w każdej próbie \(p=0{,}5\).
Jak obliczyć prawdopodobieństwo krok po kroku?
Obliczenie prawdopodobieństwa dokładnie \(k\) sukcesów wykonaj w następującej kolejności:
- Odczytaj parametry – ustal \(n\), \(k\) oraz \(p\) na podstawie treści zadania.
- Oblicz symbol Newtona – zastosuj wzór \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- Oblicz część dotyczącą sukcesów – wyznacz \(p^k\).
- Oblicz część dotyczącą porażek – wyznacz \((1-p)^{n-k}\).
- Pomnóż otrzymane wartości – wynik będzie prawdopodobieństwem \(P(X=k)\), które możesz zapisać jako ułamek, liczbę dziesiętną albo procent.
Silnia oznaczona symbolem „!” jest iloczynem kolejnych liczb całkowitych. Na przykład \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\), natomiast \(0!=1\).
Przykład obliczenia dla rzutu monetą
Monetą rzucamy 5 razy. Sukcesem jest wypadnięcie orła, którego prawdopodobieństwo wynosi \(p=0{,}5\). Szukamy prawdopodobieństwa dokładnie 3 sukcesów, więc:
\[
n=5,\qquad k=3,\qquad p=0{,}5
\]
Podstawiamy dane do wzoru:
\[
P(X=3)=\binom{5}{3}(0{,}5)^3(1-0{,}5)^{5-3}
\]
Najpierw obliczamy symbol Newtona:
\[
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{6\cdot2}=10
\]
Następnie wyznaczamy potęgi:
\[
(0{,}5)^3=0{,}125,\qquad (0{,}5)^2=0{,}25
\]
Łączymy wyniki:
\[
P(X=3)=10\cdot0{,}125\cdot0{,}25=0{,}3125
\]
Otrzymujemy 0,3125, czyli 31,25%. Prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach wypadną dokładnie trzy orły, wynosi zatem 31,25%.
Parametry rozkładu dwumianowego
Najczęściej używane symbole i ich znaczenia przedstawia poniższa tabela:
| Parametr | Symbol | Znaczenie |
|---|---|---|
| Liczba prób | \(n\) | Łączna liczba niezależnych doświadczeń |
| Liczba sukcesów | \(k\) | Liczba sukcesów, dla której obliczamy prawdopodobieństwo |
| Prawdopodobieństwo sukcesu | \(p\) | Szansa sukcesu w jednej próbie |
| Prawdopodobieństwo porażki | \(q=1-p\) | Szansa porażki w jednej próbie |
Dwie podstawowe charakterystyki rozkładu dwumianowego to wartość oczekiwana i wariancja:
\[
E(X)=np
\]
\[
\operatorname{Var}(X)=np(1-p)
\]
Wartość oczekiwana wskazuje, ilu sukcesów średnio można oczekiwać w \(n\) próbach. W przykładzie z monetą wynosi \(5\cdot0{,}5=2{,}5\), choć w pojedynczej serii liczba sukcesów musi być całkowita.
Najczęstsze błędy to pomylenie \(p\) z \(q\), użycie \(k\) jako liczby wszystkich prób oraz niepoprawne obliczenie symbolu Newtona. Trzeba też sprawdzić niezależność prób, ponieważ bez niej wzór rozkładu dwumianowego może nie mieć zastosowania.
