Jak obliczyć wartość oczekiwaną?
Wartość oczekiwana to średnia ważona możliwych wyników zmiennej losowej. Dla rozkładu dyskretnego oblicza się ją przez sumowanie iloczynów wartości i ich prawdopodobieństw, a dla rozkładu ciągłego – przez całkowanie iloczynu wartości oraz funkcji gęstości.
Czym jest wartość oczekiwana?
Wartość oczekiwana, oznaczana jako E(X) lub EX, jest parametrem położenia centralnego rozkładu zmiennej losowej. Można interpretować ją jako średni wynik, do którego zbliża się średnia arytmetyczna przy wielokrotnym powtarzaniu tego samego doświadczenia.
Nie oznacza to, że wartość oczekiwana musi być możliwym pojedynczym wynikiem. Przy rzucie kostką wynosi ona 3,5, choć na kostce nie ma ścianki z taką liczbą oczek. Jest to średnia ważona, w której każda wartość ma wagę równą prawdopodobieństwu jej wystąpienia.
Jakie wzory stosować?
Najpierw trzeba rozpoznać, czy zmienna losowa ma rozkład dyskretny, czy ciągły. Wybór tego typu rozkładu decyduje o tym, czy stosujemy sumę, czy całkę:
| Typ zmiennej | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Dyskretna | \(E(X)=\sum_i x_i P(X=x_i)\) | Sumujemy iloczyny możliwych wartości \(x_i\) i odpowiadających im prawdopodobieństw. |
| Ciągła | \(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx\) | Całkujemy iloczyn wartości \(x\) oraz funkcji gęstości prawdopodobieństwa \(f(x)\). |
W rozkładzie dyskretnym \(P(X=x_i)\) oznacza prawdopodobieństwo uzyskania wartości \(x_i\). W rozkładzie ciągłym \(f(x)\) jest funkcją gęstości, a prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie jednej wartości jest równe zero. Prawdopodobieństwa dotyczą przedziałów, które wyznacza się przez całkowanie gęstości.
W ujęciu ogólnym wartość oczekiwana jest całką względem miary prawdopodobieństwa. W praktycznych obliczeniach dla typowych rozkładów wystarczają jednak powyższe wzory. Trzeba też sprawdzić, czy wartość oczekiwana istnieje. Jest to zagwarantowane między innymi wtedy, gdy \(E(|X|)
Jak obliczyć wartość oczekiwaną krok po kroku?
Rozważmy rzut uczciwą sześcienną kostką. Niech \(X\) oznacza liczbę wyrzuconych oczek. Każda z wartości od 1 do 6 ma prawdopodobieństwo \(1/6\).
Obliczenie można przeprowadzić w następujących krokach:
- Wypisz wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej \(X\).
- Przypisz każdej wartości jej prawdopodobieństwo.
- Pomnóż każdą wartość przez odpowiadające jej prawdopodobieństwo.
- Zsumuj otrzymane iloczyny.
Dane potrzebne do rachunku wyglądają następująco:
| Wartość \(x\) | Prawdopodobieństwo \(p\) | Iloczyn \(x \cdot p\) |
|---|---|---|
| 1 | \(1/6\) | \(1/6\) |
| 2 | \(1/6\) | \(2/6\) |
| 3 | \(1/6\) | \(3/6\) |
| 4 | \(1/6\) | \(4/6\) |
| 5 | \(1/6\) | \(5/6\) |
| 6 | \(1/6\) | \(6/6\) |
Zatem:
\[
E(X)=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16
\]
\[
E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5
\]
W tym przypadku wartość oczekiwana jest zwykłą średnią arytmetyczną, ponieważ wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne. Przy nierównych prawdopodobieństwach każdy wynik miałby inną wagę.
Na czym polega liniowość wartości oczekiwanej?
Liniowość pozwala obliczać wartość oczekiwaną złożonych zmiennych bez wyznaczania całego rozkładu ich sumy. Dla zmiennych losowych \(X\) i \(Y\) oraz stałej \(c\) zachodzą następujące własności:
- \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) – wartość oczekiwana sumy jest sumą wartości oczekiwanych.
- \(E(X-Y)=E(X)-E(Y)\) – analogiczna reguła działa dla różnicy zmiennych.
- \(E(cX)=cE(X)\) – stałą można wyłączyć przed operator wartości oczekiwanej.
- \(E(aX+b)=aE(X)+b\) – reguła łączy skalowanie zmiennej z dodaniem stałej.
Własność \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) nie wymaga niezależności zmiennych, o ile odpowiednie wartości oczekiwane istnieją. To odróżnia ją od reguły dotyczącej iloczynu, ponieważ równość \(E(XY)=E(X)E(Y)\) wymaga dodatkowych warunków, takich jak niezależność.
Przykładowo suma oczek z dwóch kostek może być zapisana jako \(X=X_1+X_2\). Ponieważ dla jednej uczciwej kostki \(E(X_1)=E(X_2)=3{,}5\), otrzymujemy:
\[
E(X)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=3{,}5+3{,}5=7
\]
Kiedy stosować wartość oczekiwaną?
Wartość oczekiwana pomaga oceniać średni wynik gier losowych, opłacalność decyzji biznesowych, przewidywaną liczbę zdarzeń oraz parametry modeli statystycznych. Przykładowo, jeśli zysk z jednej decyzji ma kilka możliwych poziomów, można pomnożyć każdy z nich przez prawdopodobieństwo wystąpienia i zsumować wyniki.
Trzeba jednak pamiętać, że jest to tylko średnia. Nie opisuje całego ryzyka ani rozrzutu wyników. Dwie gry mogą mieć tę samą wartość oczekiwaną, ale zupełnie inną wariancję, czyli różne wahania rezultatów. Przy decyzjach finansowych lub hazardowych sama wartość oczekiwana nie wystarcza do oceny bezpieczeństwa pojedynczego wyniku.
