Jak rozwiązać nierówność liniową?

Nierówność liniową rozwiązuje się podobnie jak równanie: porządkujesz wyrażenia, przenosisz niewiadomą na jedną stronę i liczby na drugą. Najważniejszy wyjątek polega na tym, że podczas mnożenia lub dzielenia obu stron przez liczbę ujemną trzeba zmienić zwrot znaku nierówności. Wynikiem nie jest zwykle jedna liczba, lecz cały przedział liczb.

Czym nierówność liniowa różni się od równania?

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą może mieć postać na przykład \(ax+b>0\), \(ax+b\leq 0\) albo równoważną postać z wyrażeniami po obu stronach znaku. Litera \(x\) oznacza niewiadomą, a celem jest znalezienie wszystkich jej wartości spełniających warunek.

Same przekształcenia przypominają te znane z równań. Różnica dotyczy wyniku. Równanie \(3x-2=7\) prowadzi do jednej wartości \(x=3\), natomiast nierówność \(3x-2<7\) daje:

\(3x-2<7\)
\(3x<9\)
\(x<3\)

Rozwiązaniem jest więc każdy \(x\) mniejszy od \(3\), czyli cały zbiór liczb \(x\in(-\infty,3)\).

Jak krok po kroku rozwiązać nierówność?

W typowym przykładzie wykonuj działania w następującej kolejności:

1. Uporządkuj obie strony – przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą.
2. Zredukuj wyrazy podobne – połącz składniki zawierające \(x\) oraz liczby.
3. Podziel przez współczynnik przy \(x\) – sprawdź przy tym, czy jest dodatni, czy ujemny.

Przykład:

\(6x-5\leq4x+7\)

Najpierw odejmujemy \(4x\) po obu stronach:

\(2x-5\leq7\)

Następnie dodajemy \(5\):

\(2x\leq12\)

Dzielimy przez dodatnią liczbę \(2\), więc znak pozostaje bez zmian:

\(x\leq6\)

Zbiór rozwiązań zapisujemy jako \(x\in(-\infty,6]\).

Dlaczego przy liczbie ujemnej zmienia się znak?

Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną trzeba odwrócić zwrot znaku. Znak \(<\) zmienia się w \( >\), znak \(\leq\) w \(\geq\), a działanie odwrotne działa tak samo.

Rozważmy nierówność:

\(-2x+5<3\)

Odejmujemy \(5\):

\(-2x<-2\)

Teraz dzielimy obie strony przez \(-2\). Ponieważ dzielnik jest ujemny, zmieniamy znak nierówności:

\(x>1\)

Rozwiązaniem jest przedział \(x\in(1,+\infty)\).

Bez odwrócenia znaku otrzymalibyśmy \(x<1\), czyli wynik sprzeczny z warunkiem wyjściowym. Można to sprawdzić, wybierając liczbę z otrzymanego przedziału, na przykład \(x=2\): \(-2\cdot2+5=1\), a \(1<3\) jest prawdą.

Zmiana zwrotu jest konieczna za każdym razem, gdy mnożysz lub dzielisz nierówność przez liczbę ujemną. Nie dotyczy to zwykłego dodawania lub odejmowania tej samej liczby po obu stronach.

Jak zapisać wynik w postaci przedziału?

Rodzaj znaku nierówności decyduje o tym, czy wartość graniczna należy do zbioru rozwiązań. Przy nierównościach ostrych granica nie należy do rozwiązania, dlatego stosuje się nawias otwarty. Przy nierównościach nieostrych granica należy do rozwiązania, więc używa się nawiasu domkniętego.

Nieskończoność nie jest liczbą, którą można osiągnąć, dlatego przy \(-\infty\) i \(+\infty\) zawsze występuje nawias otwarty.

Jak rozwiązać nierówność podwójną?

Nierówność podwójna zawiera dwa znaki nierówności, na przykład:

\(-3<x+5<5\)

Możesz potraktować ją jako dwie nierówności połączone spójnikiem „i”:

\(-3<x+5\) oraz \(x+5<5\)

Odejmujemy \(5\) we wszystkich trzech częściach nierówności jednocześnie:

\(-3-5<x<5-5\)

\(-8<x<0\)

Zatem \(x\in(-8,0)\). Ta sama metoda działa przy mnożeniu lub dzieleniu całej nierówności przez liczbę ujemną, ale wtedy oba znaki trzeba odwrócić.

Jak sprawdzić wynik?

Wybierz dowolną liczbę należącą do otrzymanego przedziału i podstaw ją do nierówności wyjściowej. Dla wyniku \(x>1\) możesz sprawdzić \(x=2\). Jeśli nierówność jest spełniona, rachunki są zgodne przynajmniej dla wybranego punktu. Przy granicy sprawdź także, czy znak jest ostry, czy nieostry, ponieważ od tego zależy rodzaj nawiasu.