Jak obliczyć współczynnik a we wzorze y = ax + b?
Współczynnik kierunkowy a we wzorze y = ax + b obliczysz z dwóch punktów za pomocą wzoru: a = (y2 − y1) / (x2 − x1). Symbol a określa nachylenie prostej, a b jest wyrazem wolnym i wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią OY.
Wzór na współczynnik kierunkowy
Jeżeli znasz dwa punkty należące do wykresu funkcji, na przykład A = (x1, y1) oraz B = (x2, y2), podstaw ich współrzędne do wzoru:
a = (y2 − y1) / (x2 − x1)
Przykład: dla punktów A = (1, 0) i B = (3, −2) otrzymujemy:
a = (−2 − 0) / (3 − 1) = −2 / 2 = −1
Współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi więc a = −1. W mianowniku musi wystąpić różnica współrzędnych x. Jeśli x2 − x1 = 0, punkty mają tę samą współrzędną x, a przechodząca przez nie prosta jest pionowa. Nie da się jej zapisać jako funkcji liniowej y = ax + b.
Jak dobrać metodę do danych?
Wybór obliczeń zależy od informacji podanych w zadaniu:
| Dane wejściowe | Metoda | Uwagi |
|---|---|---|
| Dwa punkty wykresu | a = (y2 − y1) / (x2 − x1) | Najkrótszy sposób, gdy znasz współrzędne obu punktów. |
| Punkt i miejsce zerowe | Miejsce zerowe tworzy punkt (x0, 0), a następnie stosujesz wzór na dwa punkty. | Miejsce zerowe oznacza wartość argumentu, dla której y = 0. |
| Równanie prostej i warunek dodatkowy | Podstawiasz dane do y = ax + b i rozwiązujesz układ równań. | Metoda jest bardziej uniwersalna, lecz zwykle wymaga większej liczby przekształceń. |
| Prosta prostopadła do innej prostej | Korzystasz z warunku a1a2 = −1. | Warunek dotyczy niepionowych prostych zapisanych w postaci kierunkowej. |
Jak obliczyć a za pomocą układu równań?
Gdy zadanie nie podaje wprost dwóch punktów albo chcesz wyznaczyć jednocześnie a i b, wykorzystaj równanie y = ax + b. Postępuj w trzech etapach:
- Podstaw współrzędne pierwszego punktu. Dla punktu (x1, y1) otrzymasz równanie y1 = ax1 + b.
- Podstaw współrzędne drugiego punktu. Dla punktu (x2, y2) otrzymasz równanie y2 = ax2 + b.
- Rozwiąż układ równań. Odejmij równania stronami lub zastosuj metodę podstawiania, aby wyznaczyć a.
Dla punktów A = (1, 0) i B = (3, −2) układ wygląda tak:
0 = a + b
−2 = 3a + b
Po odjęciu pierwszego równania od drugiego wyraz wolny b znika:
−2 − 0 = (3a + b) − (a + b)
−2 = 2a
a = −1
Ta metoda prowadzi do tego samego wyniku co wzór na współczynnik kierunkowy. Trzeba pilnować, aby nie pomylić współrzędnej y punktu z wyrazem wolnym b. Wyraz wolny jest równy drugiej współrzędnej tylko wtedy, gdy punkt leży na osi OY, czyli ma postać (0, b).
Prostopadłość prostych i znaczenie współczynnika a
Jeżeli dwie proste są prostopadłe, ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:
a1 · a2 = −1
Jeśli jedna prosta ma współczynnik kierunkowy a1 = 1/2, to współczynnik prostej do niej prostopadłej wynosi:
a2 · 1/2 = −1
a2 = −2
Znak współczynnika kierunkowego informuje o przebiegu funkcji:
- a > 0 – funkcja rośnie, a wykres wznosi się w prawo.
- a < 0 – funkcja maleje, a wykres opada w prawo.
- a = 0 – funkcja jest stała, a wykres jest równoległy do osi OX.
- Im większa wartość bezwzględna a, tym większe nachylenie prostej względem osi OX.
