Hesjan – jak obliczyć wyznacznik macierzy?
Hesjan to macierz drugich pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. Dla funkcji dwóch zmiennych zapisuje się go jako macierz \(2 \times 2\), a następnie oblicza jej wyznacznik, aby badać charakter punktów stacjonarnych.
Czym jest hesjan?
Dla funkcji \(f(x,y)\) macierz hesjanowa ma postać:
\[
H_f(x,y)=
\begin{pmatrix}
f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\
f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)
\end{pmatrix}
\]
Jej elementy są drugimi pochodnymi cząstkowymi funkcji. Wyznacznik hesjanu wynosi:
\[
\det H_f(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)f_{yx}(x,y)
\]
Jeżeli pochodne mieszane są ciągłe w rozważanym otoczeniu, obowiązuje twierdzenie Schwarza, zgodnie z którym:
\[
f_{xy}=f_{yx}
\]
W takiej sytuacji hesjan jest macierzą symetryczną. Macierz i jej wyznacznik wykorzystuje się przede wszystkim do badania, czy punkt stacjonarny jest minimum lokalnym, maksimum lokalnym czy punktem siodłowym.
Jak obliczyć hesjan krok po kroku?
Dla funkcji dwóch zmiennych procedura przebiega według następującego schematu:
- Wyznacz pochodne pierwszego rzędu – oblicz \(f_x\) oraz \(f_y\).
- Znajdź punkty stacjonarne – rozwiąż układ równań \(f_x=0\) i \(f_y=0\), jeśli celem jest klasyfikacja ekstremów.
- Oblicz pochodne drugiego rzędu – wyznacz \(f_{xx}\), \(f_{xy}\), \(f_{yx}\) oraz \(f_{yy}\).
- Zbuduj macierz hesjanową – umieść drugie pochodne w odpowiednich miejscach macierzy.
- Oblicz wyznacznik – zastosuj wzór \(\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}f_{yx}\).
Trzeba zachować kolejność pochodnych w zapisie macierzy. Element \(f_{xy}\) oznacza różniczkowanie najpierw względem \(x\), a następnie względem \(y\), natomiast \(f_{yx}\) odwrotnie. Przy ciągłości tych pochodnych wartości są równe.
Przykład obliczenia hesjanu
Rozważmy funkcję:
\[
f(x,y)=x^3+y^3-3xy
\]
-
Pochodne pierwszego rzędu – różniczkujemy funkcję względem każdej zmiennej:
\[
f_x(x,y)=3x^2-3y
\]\[
f_y(x,y)=3y^2-3x
\]Punkty stacjonarne można znaleźć, rozwiązując układ:
\[
3x^2-3y=0,\qquad 3y^2-3x=0
\]Po uproszczeniu:
\[
y=x^2,\qquad x=y^2
\]Układ ma rozwiązania \((0,0)\) oraz \((1,1)\).
-
Pochodne drugiego rzędu – różniczkujemy pochodne pierwszego rzędu:
\[
f_{xx}(x,y)=6x
\]\[
f_{xy}(x,y)=-3
\]\[
f_{yx}(x,y)=-3
\]\[
f_{yy}(x,y)=6y
\]W tym przykładzie wyraźnie widać, że:
\[
f_{xy}=f_{yx}=-3
\] -
Macierz hesjanowa – wstawiamy obliczone pochodne do macierzy:
\[
H_f(x,y)=
\begin{pmatrix}
6x & -3 \\
-3 & 6y
\end{pmatrix}
\] -
Wyznacznik hesjanu – korzystamy ze wzoru na wyznacznik macierzy \(2 \times 2\):
\[
\det H_f(x,y)=(6x)(6y)-(-3)(-3)
\]\[
\det H_f(x,y)=36xy-9
\]W punkcie \((0,0)\) otrzymujemy:
\[
\det H_f(0,0)=-9
\]W punkcie \((1,1)\):
\[
\det H_f(1,1)=36-9=27
\]
Jak interpretować wyznacznik hesjanu?
Dla punktu stacjonarnego funkcji dwóch zmiennych stosuje się kryterium drugich pochodnych. Oznaczmy:
\[
D=\det H_f(x_0,y_0)
\]
Jeżeli \(D
Jeżeli \(D>0\), sam wyznacznik nie wystarcza do rozstrzygnięcia. Trzeba jeszcze sprawdzić znak \(f_{xx}(x_0,y_0)\): gdy \(f_{xx}>0\), punkt jest minimum lokalnym, a gdy \(f_{xx}0\) oraz \(f_{xx}(1,1)=6>0\), więc jest to minimum lokalne.
Przypadek \(D=0\) jest nierozstrzygający. Wtedy klasyczne kryterium hesjanowe nie pozwala sklasyfikować punktu i potrzebne są dalsze metody analizy.
Najkrócej: obliczenie hesjanu polega na wyznaczeniu wszystkich drugich pochodnych cząstkowych, ułożeniu ich w macierz i obliczeniu jej wyznacznika. Dopiero razem z informacją o punkcie stacjonarnym oraz znaku \(f_{xx}\) wynik pozwala określić charakter ekstremum.
