Jak zapisać funkcję stałą?

Funkcję stałą zapisujemy jako f(x) = c dla każdego x należącego do dziedziny. Równoważna definicja brzmi: dla dowolnych x₁, x₂ ∈ D zachodzi f(x₁) = f(x₂). Oznacza to, że funkcja przyjmuje tę samą wartość dla każdego argumentu z badanego zbioru.

Formalny zapis funkcji stałej

Niech f: D → ℝ będzie funkcją określoną w zbiorze D. Jest ona stała w tym zbiorze, gdy istnieje liczba c, taka że:

∀x ∈ D: f(x) = c

Symbol ∀ to kwantyfikator ogólny. Czytamy ten zapis: „dla każdego x należącego do D wartość funkcji f(x) jest równa c”. Liczba c nie zależy od wyboru argumentu.

Definicję można też zapisać w formie relacji między dowolnymi dwoma argumentami:

∀x₁, x₂ ∈ D: f(x₁) = f(x₂)

Co oznacza zapis f(x₁) = f(x₂)?

Ten zapis nie oznacza, że argumenty x₁ i x₂ muszą być równe. Mogą być różnymi elementami dziedziny, ale funkcja przypisuje im tę samą wartość. Definicja wymaga, aby równość zachodziła dla każdej wybranej pary argumentów.

Warunek stałości można rozłożyć na następujące elementy:

• D jest zbiorem argumentów, czyli dziedziną albo jej badanym podzbiorem.
• x₁ i x₂ są dowolnymi elementami tego zbioru.
• f(x₁) i f(x₂) muszą mieć tę samą wartość.
• Równość musi dotyczyć wszystkich argumentów, a nie tylko wybranych przykładów.

Zapis f(x) = c jest wzorem opisującym funkcję stałą. Zapis f(x₁) = f(x₂) przedstawia natomiast własność, którą należy sprawdzić podczas dowodu. Pierwszy mówi, jaka jest wartość funkcji, a drugi pozwala wykazać, że nie zmienia się ona wraz ze zmianą argumentu.

Jak wykazać, że funkcja jest stała?

Dowód najlepiej zapisać według stałego schematu. Należy uwzględnić dziedzinę, ponieważ funkcja może być stała w jednym przedziale, ale nie być stała w całej swojej dziedzinie.

Kolejne etapy dowodu wyglądają następująco:

1. Określ dziedzinę lub zbiór, w którym badasz stałość funkcji.
2. Przyjmij dwa dowolne argumenty x₁, x₂ ∈ D.
3. Oblicz wartości f(x₁) i f(x₂), a następnie porównaj je.
4. Jeżeli otrzymasz f(x₁) = f(x₂) dla dowolnych argumentów, wyciągnij wniosek, że funkcja jest stała w zbiorze D.

Przykład: dla funkcji określonej wzorem f(x) = 4 i dziedziną D = ℝ mamy:

f(x₁) = 4 oraz f(x₂) = 4, więc f(x₁) = f(x₂) dla każdych x₁, x₂ ∈ ℝ. Zatem funkcja jest stała, a jej stała wartość wynosi 4.

Na wykresie funkcję stałą rozpoznasz jako poziomą linię, czyli prostą równoległą do osi argumentów. W przypadku zbioru par uporządkowanych wszystkie pary mają różne lub równe pierwsze współrzędne, ale ich drugie współrzędne są takie same, na przykład {(1, 3), (2, 3), (5, 3)}.

Stałość w przedziale a stałość w całej dziedzinie

Określenie zbioru, w którym funkcja ma być stała, jest częścią poprawnego zapisu. Funkcja może przyjmować jedną wartość na jednym przedziale i inną wartość na drugim. Wtedy jest stała na każdym z tych przedziałów osobno, lecz nie musi być stała w ich sumie ani w całej dziedzinie.

Dlatego w rozwiązaniu trzeba podać pełny wniosek, na przykład: „funkcja jest stała w przedziale [0, 2]” albo „funkcja jest stała w całej dziedzinie D”. Samo sprawdzenie kilku punktów nie wystarcza do dowodu.