Jak sprawdzić, czy funkcja jest bijekcją?

Aby sprawdzić, czy funkcja jest bijekcją, trzeba wykazać jednocześnie jej różnowartościowość, czyli iniektywność, oraz „bycie na”, czyli suriektywność. Najpierw określ dziedzinę i przeciwdziedzinę, ponieważ ta sama reguła może być bijekcją między jednymi zbiorami, a nie być nią między innymi.

Czym jest bijekcja i dlaczego ważne są zbiory?

Rozważmy funkcję f: X → Y. Jest ona bijekcją, gdy każdemu elementowi zbioru Y odpowiada dokładnie jeden element zbioru X. Oznacza to, że funkcja nie przypisuje tej samej wartości dwóm różnym argumentom i jednocześnie przyjmuje każdą wartość należącą do przeciwdziedziny.

Formalnie bijekcja jest równocześnie:

• iniekcją, czyli funkcją różnowartościową
• suriekcją, czyli funkcją „na”

Przed rozpoczęciem dowodu trzeba zapisać, między jakimi zbiorami działa funkcja. Wzór f(x) = x² opisuje inną funkcję, gdy rozpatrujemy ją jako f: ℝ → ℝ, a inną, gdy przyjmiemy f: ℝ → [0, ∞). W pierwszym przypadku nie jest surjekcją, ponieważ nie przyjmuje wartości ujemnych. W drugim przypadku jej zbiór wartości pokrywa przeciwdziedzinę, ale nadal nie jest iniekcją na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Krok 1 – jak sprawdzić iniekcję?

Funkcja f: X → Y jest iniekcją, gdy różnym argumentom przypisuje różne wartości. Najczęściej zapisuje się ten warunek tak:

Jeśli dla x₁, x₂ ∈ X zachodzi f(x₁) = f(x₂), to musi zachodzić x₁ = x₂.

Do sprawdzenia różnowartościowości możesz wykorzystać trzy standardowe metody:

• Dowód wprost – przyjmij f(x₁) = f(x₂), a następnie przekształć równanie tak, aby otrzymać x₁ = x₂.
• Dowód nie wprost – załóż x₁ ≠ x₂ i pokaż, że wtedy f(x₁) ≠ f(x₂).
• Analiza monotoniczności – funkcja ściśle rosnąca albo ściśle malejąca na swojej dziedzinie jest iniekcją.

Przykład dla funkcji f(x) = 3x + 1. Zakładamy, że f(x₁) = f(x₂). Otrzymujemy:

3x₁ + 1 = 3x₂ + 1, więc 3x₁ = 3x₂, a zatem x₁ = x₂. Funkcja jest iniekcją.

Jeżeli chcesz wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa, wystarczy znaleźć dwa różne argumenty dające tę samą wartość. Dla f(x) = x² mamy na przykład f(1) = f(-1) = 1, mimo że 1 ≠ -1. Funkcja nie jest więc iniekcją na zbiorze liczb rzeczywistych.

Krok 2 – jak sprawdzić suriekcję?

Funkcja f: X → Y jest suriekcją, jeśli każda wartość y ∈ Y jest wartością funkcji dla co najmniej jednego argumentu z dziedziny. Zapis formalny brzmi:

Dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie, że f(x) = y.

W praktyce wybierz dowolne y z przeciwdziedziny i rozwiąż równanie f(x) = y względem x. Następnie sprawdź, czy otrzymane rozwiązanie rzeczywiście należy do dziedziny. Jeśli dla każdego y ∈ Y można znaleźć takie x, funkcja jest surjekcją.

Trzeba odróżnić przeciwdziedzinę od zbioru wartości. Przeciwdziedzina to zbiór, do którego funkcja prowadzi, natomiast zbiór wartości zawiera te elementy przeciwdziedziny, które funkcja faktycznie przyjmuje. Suriekcja zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy oba zbiory są równe.

Dla funkcji f(x) = 3x + 1 określonej jako f: ℝ → ℝ rozwiązujemy równanie:

y = 3x + 1, czyli x = (y − 1) / 3.

Każda liczba rzeczywista y daje rzeczywiste rozwiązanie x, więc funkcja jest surjekcją na ℝ. Ponieważ wcześniej wykazaliśmy jej iniektywność, jest także bijekcją.

Algorytm sprawdzania bijekcji

Pełną weryfikację funkcji możesz przeprowadzić w następującej kolejności:

1. Określ dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zapisz funkcję w postaci f: X → Y.
2. Sprawdź iniektywność. Przyjmij f(x₁) = f(x₂) i wykaż, że x₁ = x₂, albo zastosuj inną właściwą metodę.
3. Sprawdź suriektywność. Wybierz dowolne y ∈ Y i rozwiąż równanie f(x) = y, upewniając się, że rozwiązanie należy do X.
4. Sformułuj wniosek. Jeśli oba warunki są spełnione, funkcja jest bijekcją. Jeśli choć jeden z nich nie zachodzi, funkcja nie jest bijekcją.

Dla bijekcji istnieje funkcja odwrotna f⁻¹: Y → X. Nie każda funkcja ma funkcję odwrotną, ponieważ brak iniektywności powoduje niejednoznaczność, a brak suriektywności pozostawia elementy przeciwdziedziny bez przeciwobrazu.

Iniekcja, suriekcja i bijekcja – porównanie

Najkrótsza reguła brzmi więc: sprawdź iniekcję, sprawdź suriekcję, a następnie połącz oba wnioski. Dopiero spełnienie obu warunków oznacza, że funkcja jest bijekcją.