Jak obliczyć asymptotę ukośną funkcji?
Asymptotę ukośną wyznacza się w postaci y = ax + b, obliczając kolejno dwie granice: a = limx → ±∞ f(x)/x oraz b = limx → ±∞ (f(x) − ax). Obie granice muszą dawać skończone liczby rzeczywiste.
Czym jest asymptota ukośna?
Asymptota ukośna to prosta y = ax + b, do której wykres funkcji zbliża się, gdy argument x dąży do plus lub minus nieskończoności. Współczynnik a określa nachylenie prostej, a b jest jej wyrazem wolnym.
Asymptota może być prawostronna, gdy opisuje zachowanie funkcji dla x → +∞, albo lewostronna, gdy dotyczy x → −∞. Jeżeli a = 0, równanie przyjmuje postać y = b. Wtedy nie mówimy o asymptocie ukośnej, lecz o asymptocie poziomej, która jest jej szczególnym przypadkiem.
Najpierw sprawdź dziedzinę funkcji
Przed obliczeniem granic trzeba ustalić dziedzinę funkcji i zapisać ją w postaci przedziałów. Asymptota ukośna dotyczy zachowania wykresu „na końcach”, dlatego dziedzina musi zawierać wartości dowolnie duże dodatnie lub ujemne.
Przy sprawdzaniu dziedziny zwróć uwagę na następujące kwestie:
- Jeżeli dziedzina jest ograniczona, na przykład Df = (1, 8), funkcja nie ma asymptoty poziomej ani ukośnej.
- Jeżeli dziedzina zawiera przedział (3, +∞), można badać asymptotę prawostronną.
- Jeżeli dziedzina zawiera przedział (−∞, 3), można badać asymptotę lewostronną.
- Jeżeli dziedzina ma postać R \ {3}, należy osobno rozważyć x → −∞ i x → +∞.
Jak obliczyć asymptotę ukośną?
Załóżmy, że szukamy asymptoty funkcji f(x) przy x → +∞ albo x → −∞. Obliczenia wykonuj w dwóch etapach:
- Wyznacz współczynnik a ze wzoru a = limx → ±∞ f(x)/x.
- Wyznacz współczynnik b ze wzoru b = limx → ±∞ (f(x) − ax).
Jeżeli obie granice są skończonymi liczbami, asymptotą jest prosta y = ax + b. Gdy pierwsza granica wynosi nieskończoność, asymptota ukośna nie istnieje. Jeżeli a = 0, otrzymujesz asymptotę poziomą. Także druga granica musi być właściwa, czyli równać się konkretnej liczbie, a nie ±∞.
| Współczynnik | Wzór granicy | Wymagany wynik |
|---|---|---|
| a | limx → ±∞ f(x)/x | Skończona liczba rzeczywista |
| b | limx → ±∞ (f(x) − ax) | Skończona liczba rzeczywista |
Obliczenia dla plus i minus nieskończoności mogą dać różne wyniki. Wtedy funkcja ma dwie różne asymptoty jednostronne. Nie należy zakładać, że asymptota po obu stronach wykresu musi być taka sama.
Przykład: f(x) = (x2 + 1)/(x − 1)
Rozważmy funkcję:
f(x) = (x2 + 1)/(x − 1).
Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero, więc x ≠ 1. Otrzymujemy:
Df = (−∞, 1) ∪ (1, +∞).
Dziedzina zawiera oba kierunki nieskończoności, dlatego możemy sprawdzić asymptotę przy x → +∞ i x → −∞.
Krok 1. Obliczamy współczynnik a:
a = limx → ±∞ f(x)/x
a = limx → ±∞ [(x2 + 1)/(x − 1)] · 1/x
a = limx → ±∞ (x2 + 1)/(x2 − x) = 1.
Krok 2. Obliczamy współczynnik b:
b = limx → ±∞ (f(x) − ax)
b = limx → ±∞ [(x2 + 1)/(x − 1) − x].
Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:
b = limx → ±∞ [x2 + 1 − x(x − 1)]/(x − 1)
b = limx → ±∞ (x + 1)/(x − 1) = 1.
Zatem a = 1 i b = 1, więc asymptota ukośna funkcji ma równanie:
y = x + 1.
Na co uważać?
Najczęstszy błąd polega na obliczeniu granicy tylko dla x → +∞. Jeżeli dziedzina zawiera także wartości dążące do −∞, trzeba zbadać oba kierunki. Wyniki mogą się różnić.
Nie należy też mylić asymptoty ukośnej z pionową. Prosta y = ax + b opisuje zachowanie wykresu przy nieskończonych wartościach x, natomiast asymptota pionowa ma postać x = c i jest związana z zachowaniem funkcji w pobliżu konkretnego punktu. Gdy w obliczeniach wyjdzie a = 0, końcowym wynikiem jest asymptota pozioma, a nie ukośna.
