Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej?
Pochodną funkcji złożonej oblicza się, mnożąc pochodną funkcji zewnętrznej przez pochodną funkcji wewnętrznej. Jeśli \(h(x)=f(g(x))\), to \(\left(f(g(x))\right)’=f'(g(x))\cdot g'(x)\). To reguła łańcuchowa, często zapamiętywana jako: „zewnętrzna razy wewnętrzna”.
Jak działa reguła łańcuchowa?
Funkcja złożona to „funkcja w funkcji”. W zapisie \(f(g(x))\) funkcja \(g(x)\) jest funkcją wewnętrzną, ponieważ znajduje się w środku, a \(f\) jest funkcją zewnętrzną, ponieważ działa na wyniku funkcji \(g\).
Podczas różniczkowania najpierw obliczasz pochodną funkcji zewnętrznej, zachowując jej argument bez zmian. Następnie mnożysz otrzymany wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej.
Algorytm obliczania pochodnej funkcji złożonej
Przy każdym przykładzie wykonaj następujące działania:
- Rozpoznaj obie funkcje – wskaż funkcję zewnętrzną oraz funkcję wewnętrzną.
- Oblicz pochodną funkcji zewnętrznej – jej argument, czyli całą funkcję wewnętrzną, pozostaw bez zmian.
- Pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej – ten czynnik kończy zastosowanie reguły łańcuchowej.
Przykład: oblicz pochodną funkcji \(h(x)=\sin(x^2)\). Funkcją zewnętrzną jest sinus, a wewnętrzną \(x^2\). Pochodna sinusa to cosinus, ale argument pozostaje równy \(x^2\). Następnie mnożymy przez pochodną \(x^2\):
\[
h'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x
\]
Możesz też zastosować podstawienie \(u=x^2\). Wtedy \(h(x)=\sin u\), \(\frac{du}{dx}=2x\), a więc \(\frac{dh}{dx}=\cos u\cdot 2x=\cos(x^2)\cdot 2x\).
Tak samo postępujemy w bardziej rozbudowanym przykładzie:
\[
h(x)=\sqrt{\sin x}=(\sin x)^{1/2}
\]
Funkcja zewnętrzna to pierwiastek, a funkcja wewnętrzna to \(\sin x\). Zatem:
\[
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x
\]
Jak rozpoznać funkcję zewnętrzną i wewnętrzną?
Najłatwiej wyobrazić sobie, że najpierw obliczasz funkcję znajdującą się w środku nawiasu, a dopiero potem nakładasz na jej wynik kolejną funkcję. Poniższa tabela pokazuje ten podział:
| Funkcja | Funkcja zewnętrzna | Funkcja wewnętrzna |
|---|---|---|
| \(\sin(x^2)\) | \(\sin u\) | \(u=x^2\) |
| \(e^{3x}\) | \(e^u\) | \(u=3x\) |
| \(\ln(\cos x)\) | \(\ln u\) | \(u=\cos x\) |
| \(\sqrt{x^3-2x+1}\) | \(\sqrt{u}\) | \(u=x^3-2x+1\) |
Na przykład dla \(h(x)=e^{3x}\) pochodna funkcji zewnętrznej wynosi \(e^{3x}\), ponieważ pochodna \(e^u\) jest równa \(e^u\). Mnożymy ją przez pochodną wnętrza:
\[
h'(x)=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}
\]
Dla \(h(x)=\ln(\cos x)\) otrzymujemy:
\[
h'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)
\]
czyli po uproszczeniu:
\[
h'(x)=-\tan x
\]
Na jakie błędy uważać?
Najczęstsze pomyłki wynikają z pominięcia jednej części reguły łańcuchowej albo użycia niewłaściwego wzoru. Sprawdź szczególnie te sytuacje:
- Nie pomijaj pochodnej funkcji wewnętrznej, ponieważ samo zróżniczkowanie funkcji zewnętrznej nie daje pełnego wyniku.
- Nie zmieniaj argumentu funkcji zewnętrznej przed wykonaniem różniczkowania, na przykład dla \(\sin(x^2)\) pochodna zewnętrzna to \(\cos(x^2)\), a nie \(\cos x\).
- Nie myl funkcji potęgowej \(x^n\) z funkcją wykładniczą \(a^x\), ponieważ obowiązują dla nich różne wzory.
- Rozpoznaj funkcję zewnętrzną także wtedy, gdy zapis wygląda mniej typowo, na przykład \((\sin x)^5\) oznacza funkcję potęgową z wewnętrznym sinusem.
Notatka: dla \(h(x)=e^{\sin x}\) nie stosujesz wzoru na pochodną \(x^n\). Funkcja zewnętrzna to \(e^u\), więc \(h'(x)=e^{\sin x}\cdot\cos x\).
Złota zasada
Najpierw znajdź funkcję zewnętrzną i policz jej pochodną, zachowując całe wnętrze bez zmian. Potem pomnóż wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. Im częściej rozpisujesz te dwa elementy osobno, tym łatwiej obliczać także funkcje złożone z kilku warstw.
