Jak obliczyć wariancję próbki? Poradnik krok po kroku
Wariancja próbki mierzy rozproszenie danych wokół średniej. Oblicza się ją, sumując kwadraty odchyleń od średniej i dzieląc wynik przez n − 1, gdzie n oznacza liczbę obserwacji. Dzielnik ten odróżnia wariancję próby od wariancji całej populacji.
Wzór na wariancję próbki
Wariancję próbki zapisuje się wzorem:
s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)
Symbol x oznacza pojedynczą obserwację, x̄ jest średnią arytmetyczną próby, a n oznacza liczbę obserwacji. Najpierw obliczasz, jak daleko każda wartość znajduje się od średniej, następnie podnosisz te różnice do kwadratu i sumujesz.
Dzielnik n − 1 wynika z poprawki Bessela. Średnia obliczona z próby jest dopasowana do tych konkretnych danych, dlatego dzielenie przez n zwykle zaniżałoby oszacowanie rozproszenia w większej populacji. Wariancja jest wyrażona w jednostkach podniesionych do kwadratu, na przykład w kg² albo punktach².
Jak obliczyć wariancję próbki ręcznie?
Przykład wykorzystuje próbę o wartościach: 4, 8, 6, 5, 3 i 10. Średnia arytmetyczna wynosi 6, a liczebność próby to 6.
Obliczenia wykonaj w następującej kolejności:
- Oblicz średnią arytmetyczną wszystkich wartości.
- Od każdej wartości odejmij średnią.
- Podnieś każde odchylenie do kwadratu.
- Zsumuj kwadraty odchyleń.
- Podziel otrzymaną sumę przez n − 1.
Rozpisanie przykładu wygląda tak:
| Wartość (x) | x − średnia | (x − średnia)² |
|---|---|---|
| 4 | −2 | 4 |
| 8 | 2 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
| 5 | −1 | 1 |
| 3 | −3 | 9 |
| 10 | 4 | 16 |
Suma kwadratów odchyleń wynosi 34. Ponieważ próba ma 6 obserwacji, dzielisz tę sumę przez 5:
s² = 34 / (6 − 1) = 34 / 5 = 6,8
Wariancja próbki wynosi więc 6,8. Jej pierwiastek kwadratowy, czyli odchylenie standardowe, wynosi około 2,61. Odchylenie standardowe jest wyrażone w tej samej jednostce co dane, dlatego często łatwiej je interpretować niż samą wariancję.
Wariancja próbki w Excelu i Arkuszach Google
W arkuszu kalkulacyjnym nie musisz rozpisywać wszystkich odchyleń. Dla danych znajdujących się w zakresie A2:A7 użyj funkcji przeznaczonej dla próby:
=WARIANCJA.PRÓBKI(A2:A7)
W angielskiej wersji programu lub w dokumentacji funkcja ta występuje jako VAR.S. Arkusze Google mogą także obsługiwać starszą nazwę WARIANCJA. Funkcja automatycznie stosuje dzielnik n − 1.
Wybór funkcji zależy od tego, czy analizujesz część większej grupy, czy jej kompletny zbiór:
| Typ danych | Funkcja w Excelu lub Arkuszach Google | Dzielnik |
|---|---|---|
| Próba, czyli część większej grupy | WARIANCJA.PRÓBKI lub VAR.S | n − 1 |
| Cała populacja | WARIANCJA.POP lub VAR.P | n |
Jeżeli dane znajdują się w komórkach B2:B9, odpowiednie formuły to:
- WARIANCJA.PRÓBKI(B2:B9) dla próby.
- WARIANCJA.POP(B2:B9) dla całej populacji.
Zakres powinien obejmować wyłącznie obserwacje. Nie dodawaj do niego wiersza zawierającego sumę lub średnią, ponieważ arkusz potraktuje taką liczbę jako kolejną wartość. Puste komórki i tekst w zakresie są zwykle pomijane, ale wpisane zero jest prawidłową obserwacją i wpływa na wynik.
Próba czy populacja – którą wariancję wybrać?
Jeżeli masz dane tylko dla części badanej grupy, użyj wariancji próbki i dzielnika n − 1. Gdy zbiór zawiera wszystkich członków analizowanej populacji, wybierz wariancję populacji i dzielnik n.
Najważniejsza decyzja dotyczy więc nie liczby obserwacji, lecz ich roli. Wyniki sześciu wylosowanych osób z dużej grupy tworzą próbę, natomiast wyniki wszystkich sześciu osób należących do zamkniętego zespołu mogą stanowić całą populację.
