Jak obliczyć wierzchołek paraboli? Wzory i przykłady
Wierzchołek paraboli oznaczamy jako W = (p, q). Dla funkcji kwadratowej w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c obliczysz go ze wzorów: p = −b/(2a) oraz q = −Δ/(4a), gdzie Δ = b² − 4ac.
Wzory na wierzchołek paraboli
Współrzędna p wskazuje położenie wierzchołka na osi x, a q jest jego współrzędną na osi y. Najpierw odczytaj ze wzoru funkcji współczynniki a, b i c, a następnie oblicz wyróżnik:
Δ = b² − 4ac
Po wyznaczeniu delty podstaw dane do wzorów:
p = −b/(2a)
q = −Δ/(4a)
Wtedy wierzchołek ma współrzędne W = (p, q). Współczynnik a nie może być równy zero, ponieważ w takim przypadku funkcja nie byłaby kwadratowa.
Postać ogólna i kanoniczna – jak wybrać metodę?
Sposób obliczeń zależy od zapisu funkcji. W postaci ogólnej trzeba wyznaczyć współczynniki i deltę. W postaci kanonicznej współrzędne wierzchołka są widoczne od razu.
| Postać funkcji | Sposób wyznaczenia wierzchołka | Współrzędne wierzchołka |
|---|---|---|
| Ogólna: f(x) = ax² + bx + c | Odczytaj a, b, c, oblicz Δ, a następnie p i q. | W = (−b/(2a), −Δ/(4a)) |
| Kanoniczna: f(x) = a(x − p)² + q | Odczytaj liczby znajdujące się przy p i q. | W = (p, q) |
Przykładowo, w funkcji f(x) = 3(x − 5)² + 4 wierzchołek znajduje się w punkcie W = (5, 4). Gdy w nawiasie występuje znak plus, trzeba zmienić znak współrzędnej, na przykład f(x) = 2(x + 1)² daje wierzchołek W = (−1, 0).
Jak obliczyć wierzchołek z postaci ogólnej?
Rozważmy funkcję:
f(x) = 2x² + 4x − 6
Obliczenia wykonaj w następującej kolejności:
- Wypisz współczynniki – a = 2, b = 4, c = −6.
- Oblicz deltę – Δ = 4² − 4 · 2 · (−6) = 16 + 48 = 64.
- Oblicz pierwszą współrzędną – p = −4/(2 · 2) = −4/4 = −1.
- Oblicz drugą współrzędną – q = −64/(4 · 2) = −64/8 = −8.
Otrzymujemy więc wierzchołek:
W = (−1, −8)
Oś symetrii tej paraboli ma równanie x = −1. Ponieważ a = 2 jest dodatnie, ramiona paraboli są skierowane do góry, a wierzchołek jest jej najniższym punktem.
Na co uważać podczas obliczeń?
Najczęstsze pomyłki wynikają z niepoprawnego odczytania współczynników albo ze znaków przy liczbach ujemnych. Sprawdź szczególnie te elementy:
- Współczynnik b to liczba stojąca przy x, a c jest wyrazem wolnym.
- We wzorze p = −b/(2a) znak minus obejmuje cały współczynnik b.
- W delcie liczba ujemna wymaga nawiasu, na przykład (−6)² = 36.
- Nie myl −6² z (−6)², ponieważ pierwsze wyrażenie ma wartość −36, a drugie 36.
Najkrótsza procedura dla postaci ogólnej to: odczytaj a, b, c, policz deltę, wyznacz p i q, a na końcu zapisz punkt W = (p, q).
