Jak obliczyć współczynnik korelacji? Poradnik krok po kroku
Współczynnik korelacji Pearsona mierzy siłę i kierunek liniowej zależności między dwiema zmiennymi. Obliczysz go, dzieląc kowariancję przez iloczyn odchyleń standardowych. Wynik zawsze mieści się w przedziale od –1 do 1.
Jak wygląda wzór na współczynnik korelacji?
Najczęściej stosuje się wzór Pearsona w postaci:
r = cov(X,Y) / (σX · σY)
W obliczeniach ręcznych wygodniejsza jest równoważna postać:
r = Σ[(Xi – X̄)(Yi – Ȳ)] / √[Σ(Xi – X̄)2 · Σ(Yi – Ȳ)2]
Poszczególne symbole oznaczają:
| Symbol | Znaczenie | Rola w obliczeniu |
|---|---|---|
| r | współczynnik korelacji Pearsona | końcowy wynik od –1 do 1 |
| cov(X,Y) | kowariancja zmiennych X i Y | pokazuje, czy zmienne odchylają się od średnich w podobnym kierunku |
| σX, σY | odchylenia standardowe | umożliwiają porównanie zmienności obu zmiennych |
| X̄, Ȳ | średnie arytmetyczne | punkt odniesienia dla każdego wyniku |
W praktyce nie trzeba osobno liczyć kowariancji i dwóch odchyleń standardowych. Możesz wykonać wszystkie działania w jednej tabeli, korzystając z odchyleń poszczególnych obserwacji od średniej.
Jak obliczyć współczynnik korelacji krok po kroku?
Rozważmy sześć par danych. Zmienna X oznacza liczbę godzin nauki, a Y – wynik testu.
| Obserwacja | X | Y |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 5 |
| 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 6 |
| 6 | 6 | 7 |
Średnia zmiennej X wynosi 3,5, a średnia zmiennej Y – 4,5. Teraz dla każdej pary obliczamy odchylenie od właściwej średniej, iloczyn odchyleń oraz ich kwadraty:
| Obserwacja | X | Y | Xi–X̄ | Yi–Ȳ | Iloczyn odchyleń | Kwadrat X | Kwadrat Y |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | –2,5 | –2,5 | 6,25 | 6,25 | 6,25 |
| 2 | 2 | 3 | –1,5 | –1,5 | 2,25 | 2,25 | 2,25 |
| 3 | 3 | 5 | –0,5 | 0,5 | –0,25 | 0,25 | 0,25 |
| 4 | 4 | 4 | 0,5 | –0,5 | –0,25 | 0,25 | 0,25 |
| 5 | 5 | 6 | 1,5 | 1,5 | 2,25 | 2,25 | 2,25 |
| 6 | 6 | 7 | 2,5 | 2,5 | 6,25 | 6,25 | 6,25 |
| Suma | 16,50 | 17,50 | 17,50 |
Cała procedura obejmuje następujące działania:
- Oblicz średnie X̄ i Ȳ dla obu zmiennych.
- Wyznacz odchylenia każdej wartości od odpowiedniej średniej.
- Pomnóż odchylenia parami i podnieś każde z nich do kwadratu.
- Zsumuj wyniki w trzech ostatnich kolumnach tabeli.
- Podstaw sumy do wzoru i oblicz pierwiastek w mianowniku.
Podstawienie danych wygląda tak:
r = 16,50 / √(17,50 · 17,50)
r = 16,50 / 17,50 ≈ 0,943
Współczynnik korelacji wynosi około 0,943. W tym przykładzie liczba godzin nauki i wynik testu są silnie dodatnio skorelowane.
Jak interpretować wynik?
Znak współczynnika wskazuje kierunek zależności, a jego wartość bezwzględna – jej siłę. Przyjmuje się następującą orientacyjną interpretację:
- r bliskie 1 oznacza silną dodatnią zależność liniową
- r bliskie –1 oznacza silną ujemną zależność liniową
- r bliskie 0 oznacza brak wyraźnej zależności liniowej
- wartość bezwzględna r od około 0,3 do 0,7 zwykle wskazuje zależność umiarkowaną, ale progi zależą od dziedziny
Dodatnia korelacja oznacza, że wzrostowi jednej zmiennej zwykle towarzyszy wzrost drugiej. Przy korelacji ujemnej wzrost jednej zmiennej wiąże się z tendencją spadkową drugiej. Wynik równy zero nie wyklucza każdej możliwej zależności, lecz wskazuje na brak zależności liniowej.
O czym pamiętać przy interpretacji?
Korelacja nie oznacza przyczynowości. Wysokie r nie dowodzi, że jedna zmienna powoduje zmianę drugiej. Obie mogą zależeć od trzeciego czynnika albo wynik może być efektem przypadku.
Współczynnik Pearsona opisuje wyłącznie zależność liniową. Na wynik mogą też silnie wpływać wartości odstające, dlatego przed obliczeniem dobrze sprawdzić dane na wykresie punktowym. W Excelu korelację można wyznaczyć funkcją WSP.KORELACJI, podając dwa zakresy o tej samej liczbie obserwacji.
