Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z trzech punktów?

Aby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej przechodzącej przez trzy punkty, zapisz postać ogólną f(x) = ax² + bx + c, podstaw współrzędne każdego punktu i rozwiąż układ trzech równań z niewiadomymi a, b oraz c. To uniwersalna metoda, choć zwykle bardziej pracochłonna niż wykorzystanie wierzchołka lub miejsc zerowych.

Jak przygotować układ równań?

Każdy punkt o współrzędnych (x, y) należący do wykresu funkcji spełnia równanie y = ax² + bx + c. Wystarczy więc podstawić do niego współrzędne trzech danych punktów.

1. Zapisz postać ogólną – przyjmij f(x) = ax² + bx + c.
2. Podstaw pierwszy punkt – jego współrzędne dadzą pierwsze równanie.
3. Podstaw drugi i trzeci punkt – otrzymasz kolejne dwa równania.
4. Rozwiąż układ – metodą podstawiania, przeciwnych współczynników lub inną znaną metodą algebraiczną.

W ten sposób trzy punkty tworzą układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi. Po obliczeniu współczynników a, b i c wstawiasz je do postaci ogólnej.

Przykład obliczeniowy

Wyznaczmy wzór funkcji kwadratowej przechodzącej przez punkty A(1, 6), B(-2, -3) oraz C(0, 9).

Zaczynamy od postaci ogólnej:

f(x) = ax² + bx + c

Podstawiamy kolejno współrzędne punktów:

Dla punktu A(1, 6):

6 = a · 1² + b · 1 + c
a + b + c = 6

Dla punktu B(-2, -3):

-3 = a · (-2)² + b · (-2) + c
4a – 2b + c = -3

Dla punktu C(0, 9):

9 = a · 0² + b · 0 + c
c = 9

Punkt o pierwszej współrzędnej równej zero jest przecięciem wykresu z osią OY. Od razu wyznacza więc współczynnik c.

Podstawiamy c = 9 do dwóch pierwszych równań:

a + b + 9 = 6
a + b = -3

4a – 2b + 9 = -3
4a – 2b = -12

Uprośćmy drugie równanie, dzieląc je przez 2:

2a – b = -6

Otrzymujemy układ:

a + b = -3
2a – b = -6

Dodajemy równania stronami:

3a = -9
a = -3

Podstawiamy tę wartość do równania a + b = -3:

-3 + b = -3
b = 0

Znane są już wszystkie współczynniki:

a = -3, b = 0, c = 9.

Zatem szukany wzór funkcji to:

f(x) = -3x² + 9

Jak sprawdzić wynik?

Najbezpieczniej ponownie podstawić wszystkie trzy punkty do otrzymanego wzoru. Dla przykładu:

f(1) = -3 · 1² + 9 = 6

Otrzymujemy drugą współrzędną punktu A(1, 6). Następnie można sprawdzić w ten sam sposób punkty B(-2, -3) i C(0, 9). Taka kontrola pozwala wykryć błędy rachunkowe albo pomylenie współrzędnych x i y podczas podstawiania.

Metodę układu trzech równań stosuj wtedy, gdy znasz trzy punkty, ale nie masz wygodniejszych informacji o funkcji. Jeśli jeden z nich ma postać (0, c), współczynnik c odczytasz od razu, a obliczenia skrócą się do układu dwóch równań z niewiadomymi a i b.