Jak obliczyć asymetrię rozkładu?

Asymetrię rozkładu, nazywaną też skośnością, oblicza się najczęściej jako iloraz trzeciego momentu centralnego i sześcianu odchylenia standardowego: \(A=\frac{M_3}{s^3}\). Wynik dodatni oznacza asymetrię prawostronną, ujemny – lewostronną, a wartość bliska zeru – rozkład zbliżony do symetrycznego.

Czym jest asymetria rozkładu?

Asymetria opisuje kształt rozkładu danych, czyli sposób, w jaki obserwacje układają się wokół średniej. W rozkładzie symetrycznym średnia arytmetyczna, mediana i dominanta są równe lub bardzo zbliżone. W rozkładzie skośnym jedna ze stron ma dłuższy ogon, a średnia zostaje przesunięta w jego kierunku.

• Rozkład symetryczny ma zależność \(\mathrm{Me}\approx\overline{x}\approx Mo\).
• Asymetria prawostronna ma zwykle zależność \(Mo
• Asymetria lewostronna ma zwykle zależność \(\overline{x}

Znak współczynnika wskazuje kierunek skośności, natomiast jego wartość bezwzględna służy do oceny jej nasilenia. Nie należy utożsamiać skośności z kurtozą, która opisuje przede wszystkim koncentrację danych i ciężkość ogonów rozkładu.

Jaką metodę obliczeń wybrać?

Wybór wzoru zależy od tego, jakie informacje są dostępne i czy w danych występują wartości odstające. Miary klasyczne wykorzystują wszystkie obserwacje, natomiast miary pozycyjne opierają się na medianie i kwartylach.

Wzór klasyczny jest względną miarą skośności, dzięki czemu można porównywać rozkłady wyrażone w różnych jednostkach. Współczynnik Bowleya analizuje środkową część danych i zwykle jest mniej wrażliwy na obserwacje odstające. Różne miary mogą jednak dawać odmienne wartości, a przy nietypowych danych nawet odmienne znaki.

Jak obliczyć klasyczny współczynnik asymetrii?

Klasyczne obliczenie opiera się na trzecim momencie centralnym. Dla obserwacji \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) jego wzór wygląda następująco:

\[
M_3=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^3
\]

Trzeci moment centralny jest miarą absolutną. Informuje o kierunku asymetrii, ale jego wartość zależy od jednostki pomiaru. Następnie dzieli się go przez sześcian odchylenia standardowego:

\[
A=\frac{M_3}{s^3}
\]

Procedura obliczeń przebiega w następujących krokach:

1. Oblicz średnią arytmetyczną \(\overline{x}\).
2. Dla każdej obserwacji wyznacz odchylenie od średniej \(x_i-\overline{x}\), a następnie podnieś je do trzeciej potęgi.
3. Oblicz średnią z tych sześcianów, otrzymując trzeci moment centralny \(M_3\).
4. Wyznacz odchylenie standardowe \(s\).
5. Podziel \(M_3\) przez \(s^3\).

Przykład dla danych \(1,2,2,3,7\): średnia wynosi \(\overline{x}=3\). Suma sześcianów odchyleń od średniej to \(64+1+1+0+64=130\), więc:

\[
M_3=\frac{130}{5}=26
\]

Odchylenie standardowe populacji wynosi w przybliżeniu \(s=2{,}19\). Ostatecznie:

\[
A=\frac{26}{2{,}19^3}\approx2{,}47
\]

Wynik jest dodatni, więc rozkład ma asymetrię prawostronną. Wysoka wartość wynika z obserwacji \(7\), która tworzy długi prawy ogon. Jeżeli \(s=0\), wszystkie obserwacje są identyczne i wzoru nie można zastosować, ponieważ prowadziłby do dzielenia przez zero.

Jak interpretować wartość współczynnika?

Progi interpretacyjne są umowne i mogą różnić się między podręcznikami. Dla klasycznego współczynnika można przyjąć następującą skalę orientacyjną:

Sam znak odczytuje się bez dodatkowych założeń: \(A>0\) oznacza prawostronną skośność, \(A

Najważniejsza różnica między miarami jest prosta: trzeci moment centralny pokazuje kierunek asymetrii w jednostkach sześciennych, a współczynnik \(A\) normalizuje ten wynik przez odchylenie standardowe. Gdy dane zawierają silne wartości odstające, warto porównać wynik klasyczny ze współczynnikiem Bowleya.