Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji?

Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego \(f(x)=0\). Aby je obliczyć, przyrównaj wzór funkcji do zera, a następnie rozwiąż otrzymane równanie.

Czym jest miejsce zerowe funkcji?

Jeżeli dla pewnej liczby \(x\) wartość funkcji wynosi zero, to tę liczbę nazywamy miejscem zerowym funkcji. Zapisujemy to jako:

\[
f(x)=0
\]

Na wykresie miejsce zerowe odpowiada pierwszej współrzędnej punktu, w którym wykres przecina oś \(OX\). Sama zasada jest uniwersalna: niezależnie od rodzaju funkcji najpierw przyrównujemy jej wzór do zera.

Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej?

Funkcję liniową zapisujemy najczęściej w postaci:

\[
f(x)=ax+b
\]

Współczynnik \(a\) jest współczynnikiem kierunkowym, a \(b\) to wyraz wolny. Gdy \(a\neq 0\), miejsce zerowe można obliczyć ze wzoru:

\[
x_0=-\frac{b}{a}
\]

Możesz też rozwiązać równanie bez zapamiętywania wzoru:

1. Przyrównaj funkcję do zera.
2. Rozwiąż równanie względem \(x\).

Przykład dla funkcji \(f(x)=2x+8\):

\[
2x+8=0
\]

\[
2x=-8
\]

\[
x=-4
\]

Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x=-4\).

W przypadku funkcji liniowej występują trzy możliwości:

• gdy \(a\neq 0\), funkcja ma jedno miejsce zerowe \(x_0=-\frac{b}{a}\),
• gdy \(a=0\) i \(b\neq 0\), funkcja stała nie ma miejsc zerowych,
• gdy \(a=0\) i \(b=0\), funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, ponieważ \(f(x)=0\) dla każdej liczby rzeczywistej.

Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?

Funkcja kwadratowa ma postać ogólną:

\[
f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0
\]

Aby znaleźć jej miejsca zerowe, rozwiązujemy równanie:

\[
ax^2+bx+c=0
\]

Najczęściej stosuje się wyróżnik trójmianu kwadratowego, czyli deltę:

\[
\Delta=b^2-4ac
\]

Przed obliczeniem delty wypisz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Dla funkcji \(f(x)=x^2+2x-8\) mamy:

\[
a=1,\qquad b=2,\qquad c=-8
\]

Następnie obliczamy:

\[
\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36
\]

Ponieważ \(\Delta>0\), funkcja ma dwa miejsca zerowe. Korzystamy ze wzorów:

\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]

\[
x_1=\frac{-2-6}{2}=-4
\]

\[
x_2=\frac{-2+6}{2}=2
\]

Miejsca zerowe funkcji to \(x_1=-4\) i \(x_2=2\).

Liczba miejsc zerowych zależy od wartości delty:

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, nie trzeba obliczać delty. Dla przykładu:

\[
f(x)=(x-2)(2x+3)
\]

Przyrównujemy funkcję do zera i korzystamy z zasady, że iloczyn jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zero:

\[
(x-2)(2x+3)=0
\]

\[
x-2=0\quad\lor\quad 2x+3=0
\]

\[
x=2\quad\lor\quad x=-\frac{3}{2}
\]

Zatem miejsca zerowe wynoszą \(x=2\) oraz \(x=-1{,}5\). Liczba stojąca przy \(x\) w nawiasie nie dzieli całego wyniku przez dwa. Równanie \(2x+3=0\) daje \(2x=-3\), więc \(x=-\frac{3}{2}\).

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Czasem funkcję można rozłożyć bez używania delty. Przykład:

\[
f(x)=2x^2-6x
\]

Wyłączamy \(2x\) przed nawias:

\[
2x^2-6x=2x(x-3)
\]

Teraz rozwiązujemy równanie:

\[
2x(x-3)=0
\]

\[
2x=0\quad\lor\quad x-3=0
\]

\[
x=0\quad\lor\quad x=3
\]

Miejsca zerowe to \(0\) i \(3\). Metoda skrócona jest wygodna, gdy funkcję łatwo rozłożyć na czynniki. W przeciwnym razie można zastosować deltę.

Na co uważać podczas obliczeń?

Najczęstsze pomyłki wynikają nie z samej metody, lecz z błędów w znakach i przekształceniach. Sprawdź szczególnie:

• Przy obliczaniu delty zachowaj nawias przy ujemnym \(c\), na przykład \(-4\cdot a\cdot(-3)\).
• Jeżeli przy \(x^2\) nie ma liczby, przyjmij \(a=1\), a nie \(a=0\).
• Przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę równania zmień jego znak.
• W postaci iloczynowej przyrównuj do zera każdy czynnik osobno, zamiast od razu wymnażać nawiasy.

Najkrótsza zasada brzmi: zapisz \(f(x)=0\), wybierz metodę pasującą do postaci funkcji i sprawdź otrzymane rozwiązania przez podstawienie do wzoru.