Jak sprawdzić, czy funkcja jest nieparzysta?

Aby sprawdzić, czy funkcja jest nieparzysta, należy zweryfikować warunek \(f(-x)=-f(x)\) dla każdego \(x\) z jej dziedziny. Dziedzina musi przy tym być symetryczna względem zera, czyli razem z \(x\) musi zawierać także \(-x\).

Co to znaczy, że funkcja jest nieparzysta?

Funkcja \(f\) jest nieparzysta, gdy dla każdego \(x\) należącego do jej dziedziny zachodzi równość:

\[
f(-x)=-f(x)
\]

Symetria dziedziny oznacza, że jeśli \(x\in D\), to również \(-x\in D\). Jest to warunek konieczny, ponieważ bez możliwości obliczenia zarówno \(f(x)\), jak i \(f(-x)\), nie da się przeprowadzić porównania.

Jak sprawdzić nieparzystość funkcji krok po kroku?

Weryfikację wykonuje się w następującej kolejności:

1. Wyznacz dziedzinę funkcji. Sprawdź, czy wraz z każdą liczbą \(x\) zawiera ona także liczbę \(-x\).
2. Podstaw \(-x\) za \(x\). W każdym miejscu wzoru funkcji zastąp \(x\) przez \(-x\), otrzymując wyrażenie \(f(-x)\).
3. Uprość otrzymany wzór. Zwróć szczególną uwagę na znaki, zwłaszcza przy potęgach i nawiasach.
4. Porównaj wynik z \(-f(x)\). Jeśli dla każdego \(x\) otrzymasz \(f(-x)=-f(x)\), funkcja jest nieparzysta. Jeśli równość nie zachodzi, funkcja nie jest nieparzysta.

Przykłady sprawdzania

Funkcja nieparzysta: \(f(x)=x^3\)

Dziedziną funkcji \(f(x)=x^3\) jest zbiór liczb rzeczywistych, który jest symetryczny względem zera. Obliczamy:

\[
f(-x)=(-x)^3=-x^3
\]

Natomiast:

\[
-f(x)=-x^3
\]

Zatem \(f(-x)=-f(x)\), więc funkcja \(f(x)=x^3\) jest nieparzysta.

Funkcja, która nie jest nieparzysta: \(f(x)=x^2\)

Dziedzina również jest symetryczna, ale po podstawieniu \(-x\) otrzymujemy:

\[
f(-x)=(-x)^2=x^2
\]

Tymczasem:

\[
-f(x)=-x^2
\]

Wyrażenia \(x^2\) i \(-x^2\) nie są równe dla każdego \(x\), dlatego funkcja \(f(x)=x^2\) nie jest nieparzysta.