Wariancja – co to jest i jak ją obliczyć?
Wariancja to miara rozproszenia danych wokół średniej arytmetycznej. Pokazuje, czy wartości są skupione blisko średniej, czy znacznie od niej odbiegają. Im większa wariancja, tym większe zróżnicowanie wyników.
Czym jest wariancja?
Aby obliczyć wariancję, porównuje się każdą wartość ze średnią arytmetyczną, podnosi powstałe różnice do kwadratu, a następnie oblicza ich średnią. Kwadrat usuwa znak minus i sprawia, że większe odchylenia silniej wpływają na wynik.
Można wyobrazić sobie dwie grupy uczniów, w których średnia liczba punktów wynosi 50. W pierwszej większość wyników mieści się między 48 a 52 punktami. W drugiej wyniki rozciągają się od 20 do 80 punktów. Średnia jest taka sama, ale druga grupa ma znacznie większą wariancję, ponieważ jej wyniki są bardziej rozproszone.
Wzór wariancji populacji i próby
Wybór wzoru zależy od tego, czy analizujesz cały zbiór danych, czyli populację, czy tylko jej część, czyli próbę.
| Rodzaj wariancji | Wzór | Mianownik |
|---|---|---|
| Wariancja populacji | σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N | N – liczba wszystkich obserwacji |
| Wariancja próby | s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) | n − 1 – liczba stopni swobody |
W wariancji populacji dzielimy przez N, ponieważ dysponujemy kompletnym zbiorem danych. W przypadku próby średnia z próby jest tylko przybliżeniem średniej populacji. Dzielenie przez n − 1, nazywane poprawką Bessela, koryguje to zaniżenie i daje nieobciążony estymator wariancji populacji.
Jak obliczyć wariancję krok po kroku?
Rozważmy zbiór danych: 2, 4, 6 i 8. Jeśli traktujemy go jako całą populację, należy zastosować wzór z mianownikiem N.
Obliczenia przebiegają w następujących etapach:
- Oblicz średnią arytmetyczną. Dla podanych danych średnia wynosi 5.
- Oblicz odchylenie każdej wartości od średniej. Otrzymasz kolejno: −3, −1, 1 i 3.
- Podnieś odchylenia do kwadratu. Wyniki to: 9, 1, 1 i 9.
- Zsumuj kwadraty odchyleń. Suma wynosi 20.
- Podziel sumę przez N albo n − 1, zależnie od rodzaju analizowanego zbioru.
Dla populacji wariancja wynosi 20 / 4 = 5. Gdyby te same cztery wartości były próbą, wariancja próby wyniosłaby 20 / 3, czyli około 6,67. Różnica wynika wyłącznie z zastosowania innego mianownika.
Jak interpretować wynik wariancji?
Wariancja jest zawsze liczbą nieujemną. Wynosi zero wtedy, gdy wszystkie obserwacje mają tę samą wartość. Sama wartość wariancji nie zawsze jest jednak łatwa do odczytania, ponieważ znajduje się w jednostkach podniesionych do kwadratu.
Jeżeli badana cecha jest mierzona w kilogramach, wariancja jest wyrażona w kg². Przy pomiarze długości w metrach otrzymujemy m². Z tego powodu w praktyce często korzysta się także z odchylenia standardowego, które jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji i wraca do pierwotnych jednostek pomiaru.
Najważniejsze własności wariancji są następujące:
- Wariancja jest nieujemna, ponieważ powstaje z kwadratów odchyleń.
- Wariancja stałej wynosi zero, gdyż wszystkie wartości są wtedy identyczne.
- Większa wariancja oznacza większe rozproszenie wyników wokół średniej.
- Jednostka wariancji jest kwadratem jednostki danych, na przykład zł², kg² lub m².
Wariancja znajduje zastosowanie między innymi w ocenie zmienności pomiarów, analizie ryzyka i modelach statystycznych. W bardziej zaawansowanych analizach, takich jak ANOVA, porównuje się zmienność wewnątrz grup i między grupami. Samo pojęcie wariancji nie jest jednak tym samym co analiza wariancji.
Jak obliczyć wariancję w Excelu?
W Excelu użyj funkcji WARIANCJA.POPUL, gdy dane obejmują całą populację, oraz WARIANCJA.PRÓBKI, gdy analizowany zakres jest próbą. Przykładowe formuły to =WARIANCJA.POPUL(A2:A5) i =WARIANCJA.PRÓBKI(A2:A5).
Najważniejsza decyzja przed obliczeniem dotyczy mianownika: pełny zbiór danych oznacza wariancję populacji, a wycinek większej zbiorowości – wariancję próby.
