Jak sprawdzić, czy funkcja jest okresowa?

Funkcja \(f\) jest okresowa, jeśli istnieje stała \(T \neq 0\), taka że dla każdego \(x\) z dziedziny zachodzi \(f(x+T)=f(x)\). Aby to sprawdzić, podstaw \(x+T\) do wzoru funkcji i rozwiąż równanie względem \(T\). Jeśli otrzymasz stałą niezależną od \(x\), funkcja jest okresowa.

Co to jest funkcja okresowa?

Liczbę \(T\) nazywamy okresem funkcji, gdy przesunięcie argumentu o \(T\) nie zmienia wartości funkcji:

\[
f(x+T)=f(x)
\]

Warunek musi być spełniony dla każdego \(x\), dla którego oba wyrażenia mają sens. Jeśli \(T\) jest okresem, to jego całkowite wielokrotności również są okresami. Najmniejszą dodatnią liczbę spełniającą ten warunek nazywa się okresem podstawowym. Nie każda funkcja okresowa ma jednak okres podstawowy, czego przykładem jest funkcja stała.

Jak sprawdzić okresowość funkcji krok po kroku?

Algebraiczne sprawdzanie okresowości polega na poszukiwaniu stałej \(T\), która nie zależy od argumentu \(x\). Postępuj według następujących etapów:

1. Zapisz warunek okresowości – przyjmij równanie \(f(x+T)=f(x)\).
2. Podstaw \(x+T\) do wzoru funkcji – w każdym miejscu, w którym występuje \(x\), wpisz \(x+T\).
3. Uprość otrzymane wyrażenie – w funkcjach trygonometrycznych wykorzystaj ich znane okresy oraz tożsamości.
4. Wyznacz \(T\) – sprawdź, czy otrzymana wartość jest stała i niezależna od \(x\).
5. Znajdź okres podstawowy – jeśli istnieje kilka dodatnich okresów, wybierz najmniejszy z nich.

Jeżeli równanie prowadzi do wartości \(T\) zależnej od \(x\), nie znaleziono okresu funkcji. Sama powtarzalność wzoru dla wybranych argumentów nie wystarcza, ponieważ warunek musi zachodzić dla całej dziedziny.

Przykład: \(f(x)=\sin(3x)+\cos(2x)\)

Sprawdźmy funkcję:

\[
f(x)=\sin(3x)+\cos(2x)
\]

Po zastąpieniu \(x\) przez \(x+T\) otrzymujemy:

\[
f(x+T)=\sin(3x+3T)+\cos(2x+2T)
\]

Funkcja sinus powtarza swoje wartości po zmianie argumentu o \(2\pi\), a funkcja cosinus również po zmianie argumentu o \(2\pi\). Dlatego wymagamy:

\[
3T=2\pi k,\qquad 2T=2\pi l
\]

gdzie \(k\) i \(l\) są liczbami całkowitymi. Dla \(T=2\pi\) mamy:

\[
f(x+2\pi)=\sin(3x+6\pi)+\cos(2x+4\pi)
\]

Stąd:

\[
f(x+2\pi)=\sin(3x)+\cos(2x)=f(x)
\]

Funkcja jest więc okresowa. W tym przypadku \(2\pi\) jest jej okresem podstawowym. Można to także uzasadnić przez porównanie okresów składników. Funkcja \(\sin(3x)\) ma okres podstawowy \(\frac{2\pi}{3}\), a \(\cos(2x)\) – \(\pi\). Najmniejsza dodatnia liczba będąca wspólnym okresem obu składników to \(2\pi\).

Okresy podstawowe popularnych funkcji trygonometrycznych

W powyższych warunkach \(k\in\mathbb{Z}\). Dla funkcji złożonych okres zależy od współczynnika stojącego przy \(x\). Na przykład \(\sin(4x)\) ma okres podstawowy \(\frac{\pi}{2}\), ponieważ \(4T=2\pi\).

Na co uważać przy sprawdzaniu okresowości?

Przed uznaniem funkcji za okresową sprawdź najważniejsze warunki:

• Okres \(T\) musi być stałą, a nie wyrażeniem zależnym od \(x\).
• Równość \(f(x+T)=f(x)\) musi zachodzić dla każdego \(x\) z dziedziny.
• Dziedzina musi pozostać taka sama po przesunięciu o \(T\), czyli wraz z \(x\) musi zawierać także \(x+T\).
• Nie należy zakładać, że okres musi być liczbą całkowitą.
• Funkcja stała jest okresowa dla każdego \(T\neq 0\), dlatego nie ma jednego okresu podstawowego.

Najważniejsze kryterium jest proste: znajdź dodatnią stałą \(T\), niezależną od \(x\), dla której \(f(x+T)=f(x)\) w całej dziedzinie. Jeśli taka liczba istnieje, funkcja jest okresowa, a najmniejsza z dodatnich wartości jest jej okresem podstawowym.