Jak narysować wykres funkcji z wartością bezwzględną?

Rysowanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną opiera się głównie na odbiciach symetrycznych. Dla y=|f(x)| odbijasz część wykresu względem osi OX, a dla y=f(|x|) – względem osi OY. Najpierw sprawdź, gdzie w zapisie znajduje się wartość bezwzględna.

Dwa typy przekształceń – czym się różnią?

Wartość bezwzględna może dotyczyć całej wartości funkcji albo jej argumentu. To pozornie podobne zapisy, ale prowadzą do innych przekształceń wykresu.

W pierwszym przypadku wartość bezwzględna zmienia wartości y, dlatego wykres nie może znaleźć się poniżej osi OX. W drugim zmieniają się argumenty x, więc powstaje lewa kopia prawej części wykresu.

Jak narysować wykres y=|f(x)|?

Postępuj według następujących kroków:

1. Narysuj wykres funkcji pomocniczej y=f(x).
2. Pozostaw bez zmian tę część wykresu, która leży nad osią OX lub na niej.
3. Odbij symetrycznie względem osi OX każdy fragment znajdujący się poniżej tej osi.
4. Usuń albo pomiń pierwotną część poniżej osi OX, ponieważ wartości funkcji y=|f(x)| nie są ujemne.

Jeżeli funkcja f(x) jest już nieujemna w całej swojej dziedzinie, przekształcenie niczego nie zmieni. Przykładowo, dla funkcji y=x² wykres y=|x²| jest taki sam jak wykres wyjściowy.

Jak narysować wykres y=f(|x|)?

W tym przypadku odbicie dotyczy argumentów, a nie wartości funkcji. Wykonaj następujące czynności:

1. Narysuj wykres funkcji y=f(x), ale skup się na jego części dla x≥0.
2. Pozostaw tę prawą część wykresu bez zmian.
3. Odbij ją symetrycznie względem osi OY na stronę x<0.
4. Połącz pozostawiony fragment z jego odbiciem, otrzymując wykres funkcji y=f(|x|).

Nie odbijasz całego wykresu względem osi OY. Kopiujesz wyłącznie część odpowiadającą nieujemnym argumentom. Dlatego powstały wykres jest symetryczny względem osi OY, ale jego lewa część wynika z prawej.

Przykład funkcji złożonej

Rozważmy funkcję:

y=|x²−|x|−6|

Występują tu dwa poziomy wartości bezwzględnej. Najpierw trzeba wykonać przekształcenie związane z wewnętrznym |x|, a dopiero potem zewnętrzne.

1. Wykres bazowy – pomiń na chwilę obie wartości bezwzględne i narysuj funkcję pomocniczą y=x²−x−6. Jest to parabola skierowana ramionami do góry.
2. Wewnętrzna wartość bezwzględna – przejdź do wyrażenia x²−|x|−6. Narysuj najpierw część paraboli dla x≥0, a następnie odbij ją względem osi OY na stronę x<0. Otrzymujesz wykres funkcji y=|x|²−|x|−6.
3. Zewnętrzna wartość bezwzględna – teraz potraktuj cały otrzymany wykres jako wykres funkcji g(x)=x²−|x|−6. Fragmenty znajdujące się poniżej osi OX odbij względem osi OX do góry.

Punkty przecięcia z osią OX pomagają ustalić, które fragmenty trzeba odbić. Dla x≥0 rozwiązujemy równanie x²−x−6=0, czyli (x−3)(x+2)=0. W tej części dziedziny otrzymujemy x=3. Dzięki symetrii względem osi OY odpowiada mu także punkt x=−3.

Wykres po drugim etapie ma wartości ujemne między miejscami zerowymi, więc właśnie te fragmenty należy odwrócić w trzecim etapie.

Nie zamieniaj kolejności etapów. Najpierw wykonuje się przekształcenie wynikające z wewnętrznego |x|, a dopiero potem odbija względem osi OX część całego wykresu znajdującą się poniżej tej osi.

Na co uważać?

Najczęstsze pomyłki wynikają z podobieństwa zapisów |f(x)| i f(|x|). Przed narysowaniem wykresu sprawdź następujące kwestie:

• Rozpoznaj położenie wartości bezwzględnej – |f(x)| oznacza odbicie względem osi OX, natomiast f(|x|) oznacza częściowe odbicie względem osi OY.
• Nie odbijaj całego wykresu w przypadku y=f(|x|) – wykorzystaj tylko fragment dla x≥0.
• Usuń część poniżej osi OX dla y=|f(x)| – nie zostaje ona na rysunku po wykonaniu przekształcenia.
• Sprawdź dziedzinę – przy bardziej złożonych wzorach niektóre wartości x mogą być wykluczone, na przykład przez mianownik równy zero.
• W funkcji złożonej zachowaj kolejność – najpierw wykonaj przekształcenie wewnętrzne, potem zewnętrzne.

Najkrótsza reguła do zapamiętania brzmi: wartość bezwzględna przy y odbija wykres względem osi OX, a wartość bezwzględna przy x tworzy odbicie względem osi OY. W złożonych wzorach wykonuj te operacje etapami.