Jak podać dziedzinę funkcji f i sprawdzić jej miejsca zerowe?
Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których wzór funkcji ma sens. Miejsce zerowe to taki argument, dla którego \(f(x)=0\). Aby je znaleźć, najpierw wyznacz dziedzinę, a potem rozwiąż równanie i sprawdź, czy otrzymany wynik do niej należy.
Czym są dziedzina i miejsce zerowe funkcji?
Dziedzina funkcji, oznaczana często przez \(D\), zawiera wszystkie liczby \(x\), które można podstawić do wzoru funkcji. Niektóre działania wprowadzają ograniczenia, na przykład nie wolno dzielić przez zero ani obliczać logarytmu z liczby niedodatniej.
Miejsce zerowe funkcji to argument \(x\), dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli:
\[
f(x)=0
\]
Na wykresie miejsce zerowe odpowiada punktowi przecięcia wykresu z osią \(OX\). Samo rozwiązanie równania nie wystarcza jednak do uznania liczby za miejsce zerowe. Otrzymany wynik musi jeszcze należeć do dziedziny funkcji.
Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji?
Dziedzinę wyznaczaj według następującej kolejności:
- Przeanalizuj wzór funkcji i znajdź działania, które mogą nakładać ograniczenia.
- Zapisz warunki konieczne, na przykład mianownik różny od zera.
- Rozwiąż otrzymane równania lub nierówności.
- Zapisz dziedzinę w postaci zbioru, przedziału albo kilku przedziałów.
Najczęstsze ograniczenia przedstawia tabela:
| Typ wyrażenia | Ograniczenie matematyczne | Przykład warunku |
|---|---|---|
| Mianownik ułamka | Mianownik nie może być równy zero | \(g(x)\neq 0\) |
| Pierwiastek stopnia parzystego | Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne | \(g(x)\geq 0\) |
| Logarytm | Argument logarytmu musi być dodatni | \(g(x)>0\) |
Jeżeli we wzorze występuje kilka ograniczeń, trzeba spełnić je wszystkie jednocześnie. Dziedzina jest wtedy częścią wspólną zbiorów wynikających z poszczególnych warunków.
Jak sprawdzić, czy funkcja ma miejsce zerowe?
Po wyznaczeniu dziedziny przejdź do równania \(f(x)=0\). Kolejne czynności są następujące:
- Przyrównaj wzór funkcji do zera.
- Rozwiąż otrzymane równanie.
- Sprawdź, czy każdy otrzymany wynik należy do dziedziny.
- Uznaj za miejsca zerowe tylko te rozwiązania, które są dopuszczalne we wzorze funkcji.
W przypadku funkcji wymiernej ułamek jest równy zero wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, ale mianownik pozostaje różny od zera. Dlatego po rozwiązaniu równania z licznika zawsze trzeba wykonać weryfikację.
Przykład – funkcja wymierna
Rozważmy funkcję:
\[
f(x)=\frac{x-2}{x+3}
\]
Krok 1. Wyznaczenie dziedziny
Mianownik nie może być równy zero, więc zapisujemy:
\[
x+3\neq 0
\]
Stąd:
\[
x\neq -3
\]
Dziedzina funkcji to zatem:
\[
D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}
\]
Krok 2. Rozwiązanie równania \(f(x)=0\)
Przyrównujemy funkcję do zera:
\[
\frac{x-2}{x+3}=0
\]
Ułamek jest równy zero, gdy licznik wynosi zero:
\[
x-2=0
\]
Otrzymujemy:
\[
x=2
\]
Krok 3. Weryfikacja
Liczba \(2\) należy do dziedziny, ponieważ jedyną wykluczoną wartością jest \(-3\). Zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe:
\[
x=2
\]
Odpowiadający mu punkt wykresu to \((2,0)\). Najczęstszy błąd polega na rozwiązaniu równania bez sprawdzenia dziedziny. W przypadku tej funkcji wynik \(x=-3\) nie mógłby być miejscem zerowym, ponieważ wzór nie jest dla tej wartości określony.
