Jak obliczyć okres funkcji trygonometrycznej?
Okres podstawowy funkcji trygonometrycznej y = f(ax) obliczysz ze wzoru T = T0 / |a|. Dla sinusa i cosinusa przyjmujesz T0 = 2π, a dla tangensa i cotangensa T0 = π.
Wzór na okres funkcji trygonometrycznej
Współczynnik a to liczba stojąca bezpośrednio przy x, na przykład 3 w funkcji sin(3x) albo 1/2 w funkcji tg(x/2). Wartość bezwzględna jest potrzebna dlatego, że okres zawsze podajemy jako liczbę dodatnią.
| Funkcja | Okres bazowy T0 | Wzór na okres T |
|---|---|---|
| sin(ax) | 2π | T = 2π / |a| |
| cos(ax) | 2π | T = 2π / |a| |
| tg(ax) | π | T = π / |a| |
| ctg(ax) | π | T = π / |a| |
Okres podstawowy to najmniejsza dodatnia liczba T, dla której zachodzi równość f(x + T) = f(x). Współczynnik przy x zmienia skalę argumentu, dlatego dzielimy okres bazowy przez |a|. Większa wartość |a| skraca okres, a ułamek przy x go wydłuża.
Jak wyznaczyć okres w zadaniu?
W typowych zadaniach wystarcza metoda „na szybko”. Rozpoznajesz funkcję, odczytujesz współczynnik a i podstawiasz go do właściwego wzoru. Dla bardziej złożonego zapisu można skorzystać z definicji okresowości.
Metoda formalna przebiega według następujących kroków:
- Podstaw w miejsce x wyrażenie x + T.
- Porównaj nowy argument funkcji z argumentem wyjściowym powiększonym o okres bazowy.
- Dla sinusa i cosinusa przyjmij przyrost argumentu równy 2π, a dla tangensa i cotangensa równy π.
- Rozwiąż otrzymane równanie względem T i wybierz najmniejszy dodatni wynik.
Na przykład dla funkcji sin(3x) metoda formalna daje równanie 3(x + T) = 3x + 2π. Po uproszczeniu otrzymujesz 3T = 2π, więc T = 2π/3. Metoda skrócona prowadzi do tego samego wyniku od razu.
Przykłady obliczeń
Przykład 1 – funkcja y = sin(3x)
Jest to funkcja sinus, więc jej okres bazowy wynosi 2π. Współczynnik przy x to a = 3.
T = 2π / |3| = 2π/3
Okres podstawowy funkcji y = sin(3x) wynosi 2π/3.
Przykład 2 – funkcja y = tg(x/2)
Zapisz argument w postaci ax:
x/2 = (1/2)x, zatem a = 1/2. Tangens ma okres bazowy π, dlatego:
T = π / |1/2| = π · 2 = 2π
Okres podstawowy funkcji y = tg(x/2) wynosi 2π. Ułamek przy x wydłużył okres dwukrotnie.
Przykład 3 – funkcja y = sin(πx)
W tym przypadku współczynnik przy x nie jest liczbą całkowitą, lecz wynosi a = π. Nadal korzystasz ze wzoru dla sinusa:
T = 2π / |π| = 2
Okres podstawowy funkcji y = sin(πx) wynosi 2. Obecność liczby π we współczynniku nie oznacza, że wynik także musi zawierać π.
