Jak przesunąć wykres funkcji w prawo lub lewo?
Aby przesunąć wykres funkcji w prawo o \(p\) jednostek, zastąp \(f(x)\) przez \(f(x-p)\). Przesunięcie w lewo o \(p\) jednostek otrzymasz przez zapis \(f(x+p)\). Najważniejsza reguła brzmi: minus w nawiasie oznacza ruch w prawo, a plus – ruch w lewo.
Dlaczego znak działa odwrotnie?
Przesunięcie poziome zmienia argument funkcji, czyli współrzędną \(x\), a nie samą wartość \(y\). Gdy zapisujesz \(f(x-p)\), funkcja osiąga tę samą wartość co wcześniej dopiero wtedy, gdy nowy argument \(x\) zwiększy się o \(p\). Każdy punkt wykresu przesuwa się więc w prawo.
Analogicznie zapis \(f(x+p)\) sprawia, że tę samą wartość funkcja osiąga przy argumencie mniejszym o \(p\). Wykres przesuwa się wtedy w lewo. To właśnie dlatego znak wewnątrz nawiasu wydaje się odwrotny do kierunku przesunięcia.
| Kierunek przesunięcia | Operacja w nawiasie | Wzór nowej funkcji |
|---|---|---|
| W prawo o \(p\) | Od \(x\) odejmujesz \(p\) | \(g(x)=f(x-p)\) |
| W lewo o \(p\) | Do \(x\) dodajesz \(p\) | \(g(x)=f(x+p)\) |
Przykładowo wykres funkcji \(y=|x|\) po zapisaniu jako \(y=|x-3|\) przesuwa się o 3 jednostki w prawo, a po zapisaniu jako \(y=|x+3|\) – o 3 jednostki w lewo.
Jak przesunąć wykres punkt po punkcie?
Jeśli znasz kilka punktów wykresu funkcji, możesz przesunąć je bez ponownego obliczania całego wzoru. Dla punktu \((x,y)\) przesunięcie poziome zmienia tylko pierwszą współrzędną:
- Wybierz charakterystyczne punkty wykresu, na przykład wierzchołek paraboli, miejsca zerowe lub punkty przecięcia z osiami.
- Przy przesunięciu w prawo o \(p\) dodaj \(p\) do każdej współrzędnej \(x\), otrzymując punkt \((x+p,y)\).
- Przy przesunięciu w lewo o \(p\) odejmij \(p\) od każdej współrzędnej \(x\), otrzymując punkt \((x-p,y)\).
- Narysuj nowy wykres przez przesunięte punkty, zachowując jego wcześniejszy kształt.
Dla przykładu punkt \((2,5)\) po przesunięciu o 3 jednostki w prawo przechodzi w \((5,5)\). Po przesunięciu o 3 jednostki w lewo ma współrzędne \((-1,5)\). Współrzędna \(y\) pozostaje bez zmian.
Najczęstsze pomyłki wynikają z mieszania przesunięcia poziomego z pionowym:
- \(f(x-p)\) oznacza przesunięcie wykresu w prawo o \(p\) jednostek.
- \(f(x+p)\) oznacza przesunięcie wykresu w lewo o \(p\) jednostek.
- \(f(x)+p\) przesuwa wykres w górę, a nie w poziomie.
- \(f(x)-p\) przesuwa wykres w dół, a nie w prawo.
Co zmienia się po przesunięciu poziomym?
Translacja pozioma zachowuje kształt wykresu i jego położenie względem osi \(OY\) zmienia bez rozciągania ani skracania wykresu. Zmienia jednak niektóre własności opisujące argumenty funkcji:
- dziedzina przesuwa się w tym samym kierunku co wykres,
- miejsca zerowe przesuwają się poziomo o \(p\) jednostek,
- zbiór wartości pozostaje taki sam, ponieważ wartości \(y\) się nie zmieniają,
- kształt wykresu oraz jego wysokość pozostają bez zmian.
Zapamiętaj więc prosty schemat: zmiana wewnątrz argumentu przesuwa wykres poziomo, a zmiana poza nawiasem – pionowo. W poziomie znak działa odwrotnie: \(f(x-p)\) prowadzi w prawo, natomiast \(f(x+p)\) w lewo.
