Jak wyznaczyć amplitudę funkcji sinus?
Amplituda funkcji sinus to maksymalne wychylenie od położenia równowagi. W równaniu jest równa wartości bezwzględnej współczynnika stojącego przed sinusem, a z wykresu można ją obliczyć ze wzoru A = (ymax − ymin)/2.
Czym jest amplituda funkcji sinus?
Amplituda, oznaczana literą A, określa największą odległość wartości funkcji od jej linii środkowej, czyli położenia równowagi. Jest zawsze dodatnia, ponieważ opisuje odległość, a nie kierunek wychylenia.
Dla podstawowej funkcji y = sin(x) wartości mieszczą się od −1 do 1, więc jej amplituda wynosi 1. Pomnożenie sinusa przez liczbę zmienia wysokość wykresu, ale nie jego okres.
Jak odczytać amplitudę z równania?
Najczęściej funkcję zapisuje się w postaci:
y = A sin(kx − ωt + φ)
Współczynniki k, ω i φ wpływają odpowiednio na przebieg argumentu funkcji, jego zmiany w przestrzeni lub czasie oraz przesunięcie fazowe. Amplitudę wyznacza wyłącznie współczynnik stojący przed sinusem.
Aby odczytać ją z równania, wykonaj następujące kroki:
- Znajdź liczbę stojącą bezpośrednio przed funkcją sinus.
- Jeśli ta liczba jest ujemna, zastosuj wartość bezwzględną.
- Pomiń składniki znajdujące się wewnątrz nawiasu oraz stałą dodaną poza sinusem.
Przykłady:
y = 4sin(3x), więc A = 4.
y = −5sin(x + π/2), więc A = |−5| = 5. Znak minus odwraca wykres względem osi poziomej, ale nie tworzy ujemnej amplitudy.
W funkcji przesuniętej pionowo, na przykład y = 3 + 5sin(x), liczba 3 zmienia położenie linii środkowej. Amplituda nadal wynosi 5.
Jak wyznaczyć amplitudę z wykresu?
Jeśli znasz najwyższą i najniższą wartość funkcji, oznacz je jako ymax oraz ymin. Amplituda jest połową różnicy między nimi:
A = (ymax − ymin) / 2
Dzielimy przez 2, ponieważ różnica między maksimum a minimum obejmuje całą rozpiętość wykresu, czyli odległość równą 2A. Amplituda to tylko odległość od linii środkowej do maksimum albo minimum.
Na przykład, gdy wykres przyjmuje wartości od −2 do 8:
A = (8 − (−2)) / 2 = 10 / 2 = 5
Linia środkowa znajduje się wtedy na poziomie:
(8 + (−2)) / 2 = 3
Od poziomu 3 do maksimum 8 jest 5 jednostek, czyli dokładnie tyle, ile wynosi amplituda.
Metodę dobiera się do rodzaju dostępnych danych:
| Metoda | Czego potrzebujesz? | Wzór lub sposób |
|---|---|---|
| Z równania | Zapisu y = A sin(…) | Amplituda wynosi |A| |
| Z wykresu | Wartości ymax i ymin | A = (ymax − ymin) / 2 |
| Z pełnej rozpiętości | Odległości między maksimum a minimum, czyli 2A | Amplituda jest równa połowie tej rozpiętości |
Na co uważać przy wyznaczaniu amplitudy?
Najczęstsze pomyłki wynikają z odczytywania informacji z niewłaściwej osi albo z pomijania wartości bezwzględnej. Sprawdź przede wszystkim:
- Nie traktuj całej różnicy między maksimum a minimum jako amplitudy, ponieważ jest ona równa 2A.
- Nie zostawiaj znaku minus przy amplitudzie, gdy współczynnik przed sinusem jest ujemny.
- Nie utożsamiaj amplitudy z okresem, ponieważ amplituda opisuje wysokość wykresu, a okres jego powtarzanie wzdłuż osi poziomej.
- Nie zakładaj, że maksimum jest amplitudą, gdy wykres został przesunięty pionowo.
Przesunięcie wykresu w górę lub w dół zmienia linię środkową, lecz nie zmienia amplitudy. Jeśli znasz równanie, odczytaj wartość bezwzględną współczynnika przy sinusie. Jeśli masz wykres, użyj połowy różnicy między wartością maksymalną i minimalną.
